Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
примера падение напряжения на резисторе их, будем иметь уравнение
предыдущего примера для переменной состояния г - и2 и формулу - г для
выходного сигнала. Исключив из этой формулы и уравнения состояния
переменную состояния г, получим уравнение, связывающее входной и выходной
сигналы цепи:
Ту + у = Тх.
Пространства входных сигналов, выходных сигналов и состояний-те же, что и
в примере 3.
Пример 5. Математической моделью колебательного контура (рис. 3) служит
система уравнений
ux~Ri, С du2/dt = i, Ldi/dt - u3, ui + u2 + "3 = x,
где в дополнение к обозначениям примеров 3 и 4 и3 - падение напряжения на
индуктивности L.
5 1.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ
23
iaK как величины щ и и3 могут быть выражены через i, и2 и х из первого и
четвертого уравнений,
ux = /?i, и3 = х-Ri - и2,
то состояние контура можно характеризовать двумя величинами Zi = i,
z2=u2. Тогда получим дифференциальные уравнения состояния системы
Lz1=x-Rzi - z2, Cz-2 - Zi.
Приняв за выходной сигнал контура у напряжение на конденсаторе и2 = *2,
будем иметь y=z2• Исключив переменные состояния z1 и г2> получим
уравнение, связывающее входной и выходной сигналы контура: Рис. 3
Г^у + 21ТуЛ-у^х, Т=-- '/"ЕС, Z=rVc/L/2.
Пространствами входных и выходных сигналов служит множество всех
скалярных функций времени, а пространством состояний - плоскость.
1.1.Б. Виды математических моделей. Модель системы называется
детерминированной, если каждой реализации ее входного сигнала
соответствует одна определенная реализация выходного сигнала, т. е. если
ее выходной сигнал получается как результат некоторого вполне
определенного отображения пространства входных сигналов в пространство
выходных сигналов. Все модели, рассмотренные в примерах 1-5,
детерминированные.
Модель системы называется стохастической, если каждой реализации ее
входного сигнала соответствует вполне определенное распределение ее
выходного сигнала *).
Для одной и той же системы можно построить много различных моделей. В
зависимости от степени детальности характеристики поведения системы и
количества учитываемых факторов одни модели будут проще, другие -
сложнее. Чем больше факторов учитывает модель, тем она сложнее, тем
полнее и в принципе точнее она описывает поведение системы. Однако
точность сложной модели может оказаться иллюзорной. Из-за ограниченности
доступной информации, в частности из-за неточности исходных данных,
используемых при применении модели, чрезмерно сложная модель может
оказаться менее точной, чем более простая (см., например, ТВ, п.
9.4.3)**). Поэтому степень сложности принимаемой модели должна быть
согласована с доступной информацией, которая может быть использована для
построения модели и при ее применении.
Наоборот, одна и та же модель может описывать различные системы,
например, линейное дифференциальное уравнение второго порядка с
положительными постоянными коэффициентами
*) В соответствии с этим распределением модель генерирует одну случайную
реализацию выходного сигнала, соответствующую данному входному сигналу.
**) Везде в этой книге буквами ТВ даются ссылки на книгу B.C. Пугачева
"Теория вероятностей и математическая статистика" [60].
П -I-
24
ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
служит моделью электрического колебательного контура (пример 5) и в то же
время моделью малых колебаний маятника в сопротивляющейся среде.
Для сложных систем характерно то, что, как правило, никакая модель не
может с достаточной точностью воспроизвести все функции системы. Одни
модели могут быть лучше по одним показателям, другие-по другим. Однако ни
одна из них не может быть лучшей по всем показателям. Поэтому для сложных
систем строят не одну, а несколько моделей и применяют для одних целей
(для исследования одних функций системы) одну модель, а для других целей-
другие. При этом одни модели могут быть детерминированными, а другие-
стохастическими. Так, например, модель завода, учитывающая только среднее
число рабочих, ежедневно участвующих в производственном процессе, и
среднее количество получаемых за день материальных средств, является
детерминированной. Модель того же завода, учитывающая случайные суточные
колебания числа рабочих из-за невыхода на работу по различным причинам и
случайные суточные колебания получаемых заводом материальных средств,
является стохастической. Кроме того, для сложных систем, таких как завод,
отрасль промышленности, экономика края или страны, характерно то, что они
состоят из большого числа более простых систем (подсистем), вследствие
чего управление ими невозможно без соответствующей организации внутри
самой системы, без организации управления каждой отдельной подсистемой и
без установления определенных взаимодействий между всеми подсистемами. В
результате система управления такой системой получается, во-первых,
иерархической, а во-вторых, распределенной по элементам системы,
составляющей органическое целое с самой управляемой системой. Такие
