Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
задач одновременного оценивания вектора состояния системы и неизвестных
параметров, от которых .могут зависеть функции ф, ф и фх в уравнениях
(8).
7.2.11. Стохастические дифференциалы апостериорных вероятностей в задаче
распознавания. Решение о том, к какому из N классов А-у, . . ., An
относится наблюдаемый сигнал, обычно принимается по максимуму
апостериорной вероятности: за значение параметра 0 принимается то из
значений 01; ...,0^, которое имеет наибольшую апостериорную вероятность
{ТВ, п. 10.4.2). Иными словами, модель распознавания принимает 0 = 0ft,
если апостериорная вероятность 0ft больше (или по крайней мере не меньше)
апостериорных вероятностей всех остальных значений
§ 7.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
465
01. 0/j-i. 0/.+!, •••. 0,v параметра 0. Поэтому модель распо-
знавания должна вычислять апостериорные вероятности всех классов (всех
значений 0!, . . ., 0д. параметра 0).
В случае распознавания процессов, определяемых стохастическими
дифференциальными уравнениями, можно пользоваться формулами для
стохастических дифференциалов апостериорных вероятностей классов, которые
можно вывести из общего уравнения (16) для апостериорной
характеристической функции вектора состояния системы.
Чтобы вывести эти формулы, напишем уравнение (16) для расширенного
вектора состояния [Zr0T]r, предполагая, что от 0 зависят функции ср, ф и
срх в уравнениях (8), и учитывая, что d0 = O *):
dgt(k, р) = м [{анр(к, z, (c), о-
-g- X1 (фуфг) (Y, Z, 0, t) X j j J gi
+ M[{cp1(F, Z, 0, /)т - +
+ гЯт(г|т|ф)(К, Z, 0, ?)}eaTz+(',xT0|i/U(1l',ivcf1I)_l(i/. t)(dY -
?Pidt). Положив здесь Я = 0, найдем стохастический дифференциал
апостериорной характеристической функции gy)!1) вектора 0, g*(H,) = = М
[еИт(r) | Y\J = М [eioZ- dde | у\J = gt (0, р):
dg-;(p) = M[{cpi(F, Z, 0, ty - cpl} е1'^0! Fjjx
х(фууф1)_1(Ц t){dY - (26)
Но 0-дискретная случайная величина с возможными значениями 0Х, . . .,
0д.. Поэтому, обозначив апостериорные вероятности этих значений
соответственно через q1{t), ...,qN(t),
qk{t) = P{Q = %\Y\) (k=\,
будем иметь
2 (тв> пример 4.24),
k= 1
Л4[ф1(П, Z, 0, tye^YQ-
= 2 q^e^Nl^Y, Z, 0A, ty\Y\^,
A= 1
^ 2 qk(t)M{^{Y, Z, 0At /)Щ].
k= l
*) Напомним, что все уравнения теории оптимальной фильтрации справедливы
только при условии, что фх в (8) не зависит от Z, а следовательно, и от
0.
466
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Подставив эти выражения в (26) и положив для краткости ср1Л = М[Ф1(П, Z,
в/г, /)|У1о] (/i=l, N),
придем к равенству
2 ^4^,(0= ! 2 Як (/)
ft= 1 U=1
- 2 2 qk (0 Ян (/) 0ft] (Ф^Ф!)-11 - 2 qh (t) <Pihdt) .
k-1h-1 j \ h=\ J
Сравнив коэффициенты при одинаковых показательных функциях в левой и
правой частях этого равенства, получим
f ~ N ~ \ t N ~ \
d4k (0 = - Д Ян (/) Tih / Як (/) (Ф^'фтГ1 ДУ-Д qh (/) Ф1Л dt J
(k=l, N). А (27)
Эти формулы нельзя рассматривать как стохастические дифференциальные
уравнения для апостериорных вероятностей 9i(/), . . . quit), так как
величины
Ф1* = М[ф1(Г, Z, 0ft, 0|Y{o] (й=1, ...,N)
зависят от распределений процесса Z при 0 = 01, ..., 0#. Лишь после
решения уравнения (16) относительно апостериорных характеристических
функций или уравнения (18) относительно апостериорных плотностей процесса
Z при 0 = 0!, . . ., 0# и вычисления величин Ф1А как функций Y и t
равенства (27) становятся уравнениями, определяющими q1(t), q^(t).
Таким образом, задача оптимального распознавания решается лишь после
решения уравнений (16) или (18) при соответствующих условиях. При этом
уравнения (27) определяют апостериорные вероятности классов q1(t), ¦ •
q^it) при всех t^t0, если за их начальные значения при t = t0 взять
соответствующие условные вероятности классов относительно величины Y0.
Ясно, что задачу оптимального распознавания можно решать с одновременным
оцениванием вектора состояния системы Z. При этом оптимальная оценка Z в
соответствии с (7) определяется формулой
Z = 2 qk(t)2k,
к- 1
где - условная оптимальная оценка вектора Z в предположении, что 0 = 0А
(k=\, .. N). При этом в вектор Z могут вхо-
дить и неизвестные параметры, от которых могут зависеть функции Ф, ф и Ф1
в уравнениях (8).
§ 7.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
467
Таким образом, задачу оптимального распознавания можно решать с
одновременным оцениванием вектора состояния системы и всех неизвестных
параметров, входящих в сравнения (8).
7.Д.. 12. О возможности решения задач оптимальной фильтрации при
автокоррслированной помехе в наблюдениях. Очевидно, что все выведенные
формулы справедливы, только если фДу, /) не обращается в нуль ни при
каких у и /, так как только при этом условии матрица ф^фф может быть
обратимой. Поэтому решение задачи оптимальной фильтрации при фу (у, /) =
0 в общем случае невозможно. Однако в некоторых частных случаях эта
задача может быть сведена к случаю ijy (у, /) ф 0, если помеха в
наблюдениях может быть представлена как результат преобразования белого
шума формирующим фильтром, описываемым дифференциальным уравнением (п.
