Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(Ti'vi|T)-1 для краткости опущены.
Из (20) вытекает матричная формула для стохастического диф-еренциала
оптимальной оценки Z (апостериорного математического
462
ГЛ. 7, ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
ожидания) вектора состояния Z системы: dZ = (pdtJrM [Z {(г* (Y, Z, ty -
ф[} -j--
+ (Ш-1) (Y, Z, t)! Yl] (фМфГ1 (Y, t) (dY - Щ dt). < (21)
7.2.8. Стохастический дифференциал апостериорного момента второго
порядка. Найдем стохастический дифференциал апостериорного момента
второго порядка вектора состояния системы.
!> Положив в (15) /(Z, t) = ZkZl, будем иметь при &</
к I
0.. .0.. .0.. .(Л
0...0...1...0 к 0...1...0...0 / '
1^0. . .0. . .0. . .0 и формула (15) даст
ki = ^ [ZkcPi Л Zi(Pk Д" (Ф"Н,т)/гг I dt -j-
+ м izkzi (ф! - Ф1) -п z/< (ФН'Ог Л 2г(фхг|ф)/;|Г^](ф1хгЬ1)-1(сгГ--ф1Л)
(k, /=1, р), (22)
где в дополнение к прежним обозначениям TIU = М \ZhZt | Н^], а (фхфт)йг -
соответствующий элемент матрицы фхфГ.
Для вывода соответствующей матричной формулы перепишем (22) в виде
dTkl = М [Zk(pt + Ztф/г -f (-ipv-ipT)ftl | Yt0] dt +
m
+ 2 M \ZkZtar -p Zkblr -r Zlbkr | Y*0] (dYr - ф1г dt),
r= I
где ar - r-й элемент матрицы-строки (ф!--ф!) (ф^ф))-1, а Ькг - элемент k-
й строки и т-го столбца матрицы фхф]'(ф^ф[)-1. Тогда, обозначив через Ьг
г-й столбец матрицы фмфф (фусф])-1, br = [blr...bBr\T (г = 1, . . ., tn),
получим следующую формулу для стохастического дифференциала
апостериорного момента второго порядка Г вектора состояния Z системы:
dT = M[Zy(Y, Z, t)Td-4>(Y, Z, t)Zr +
m
+ (ф\,фт) (Y, Z, t) | Yf ] dt -)- 2 ^1 [ZZT ar (Y, Z, t)-y
r = 1
+ Zbr(Y, Z, ty + br(Y, Z, t)Z'r\Ytt^(dYr - ^lrdt). * (23)
7.2.9. Стохастический дифференциал апостериорной ковариационной
матрицы. Для нахождения стохастического дифференциала апостериорной
ковариационной матрицы R вектора состояния системы воспользуемся
известной формулой, связывающей
§ 7.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
463
математическое ожидание, момент второго порядка и ковариационную матрицу
случайного вектора (ТВ, п. 3.3.1):
# = г-zz\
или, в скалярной форме,
Rki = ZkZi-
> Из этой формулы следует, что
dRki = d (ЗД).
Для нахождения d (Z/;Z;) применим формулу (3.62) для стохастического
дифференциала произведения двух случайных процессов в случае винеровского
процесса W. Имея в виду, что на основании (20) роль матриц-строк Y1 и Y2
в данном случае играют
м [Zk (ФТ- ф1) + (Д^гфГ)А | Г/0] (ф^фф)"1 фх
и
м [Zt (фГ- ФГ) + (ф^фГ)г | У*"] (ф^ф?)"1 фх, по формуле (3.62) находим
d (ZkZi) = Zkdzi + zidZk + 34 [Zk (ср( - ф() -(- (фмфД^ | Yt^\ X
X (ф^ф!)-1 ф^-фПф^фО-1 M [Z, (qy - фД + (ф^фД, | Yi\ dt.
Подставив сюда выражения dZk и dZt из (20), будем иметь
d(ZkZi) = {zSi + zi<?k + M [Zk (фГ - ф!) -f
-г ^ФД* | У*0] (Фф'фД"1 М [Z, (ф1 - срД +
+ (ф^ф!Я | У'0]} dt + М [(ZkZL + ZtZk) (фГ - ф!) +
+ zk (Ф^ФГ)г +Zt (фг'фДА | Y\0] (ф^фД-1 (dY - фу at). Вычитая эту формулу
из (22) и добавляя нулевое слагаемое М [ZkZl((fl-q)l)\Yta] = ZkZl (cpI -
фД = 0,
получим
dRkl = {М [(Zk - Zk) ф, + (Zt - 2г) фл + (фмф г)и | -
- м Vzk (ф!-ФТ) + ^ф!)* I У*.] (ф^фД-1 М [Z, (ф! - фД +
+ (Ф^ФП!I Уи}}& + М [(zu - zk) (zi~zi) (ФГ- ФГ) +
+ (zk - zk) (Ф^ФД/ + (zi ~zi) (Ф^ФД* I Щ (Ф^фД-^У - ф! dt)
(k, 1=1, ..., p). (24)
Преобразуя последнее слагаемое в (24), совершенно так же как в (22),
получаем матричную формулу для стохастического дифференциала
апостериорной ковариационной матрицы R
464
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНО!"! ФИЛЬТРАЦИИ
вектора Z состояния системы:
dR - {М [(Z - Z)(f{Y, Z, 0Т + Ф(К, Z, l)(Z'-Z')-.-
+ (\|m|P) (Г, Z, 0 | Yl] ~ М [Z {ф! (Y, Z, t)T - tpi} -
Ci'vriXr, Z, /)| ^0](ф1тф1)-М^, t)M[{4l{Y, Z, /)_^}Z' +
m
+ (хр^Г)(У, z, 01*1]}^+ 2 M[(Z-2)(Zr-fr)fl,(^, 2, ,-)
r- 1
+ (Z~Z)br(Y,Z,ty+br(Y,Z, t) (ZT - Zr)| Yt^[ (dYr - qlr dt). (25)
Средний квадрат ошибки оптимальной оценки Z при данных результатах
наблюдений Y\0, т. е. апостериорное математическое ожидание квадрата
модуля ошибки, очевидно, равен следу апостериорной ковариационной матрицы
вектора состояния системы:
AI[|Z-Zp|ll] = tr/?.
Ясно, что (21) и (23) или (21) и (25) в общем случае не являются
стохастическими дифференциальными уравнениями относительно т и Г или т и
R, так как их правые части зависят от неизвестного апостериорного
распределения. Тем не менее, как будет показано дальше, формулы (21),
(23) и (25) могут служить основой для различных приближенных методов
фильтрации и экстраполяции.
7.2.10. Применение теории оптимальной фильтрации для оценивания
неизвестных параметров в уравнениях. Все выведенные уравнения справедливы
также для случая, когда Z является расширенным вектором состояния
системы, в который включены все неизвестные параметры, входящие в
уравнения (8). При этом в соответствии с очень существенным для всей
теории оптимальной фильтрации условием независимости функции фд в первом
уравнении (8) от вектора состояния она не может также зависеть от
неизвестных параметров, поскольку они входят в расширенный вектор
состояния.
Таким образом, теорию оптимальной фильтрации можно применять для решения
