Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
была, по-видимому, впервые выведена в [49]. Пользуясь обозначением
(3.63), можно написать формулу (15) и для векторной или матричной
функции.
7.2.5. Уравнение для апостериорной характеристической функции.
Положив в (15) /(г, t) - eiX г, получим стохастическое уравнение для
апостериорной характеристической функции вектора Zy.
ё,{к) = М[е^^\У\1
> Имея в виду, что в данном случае
ft = 0, /г = Дег>-Тг, 1гг = -и.Ч1**
и что
tr {UT (фмфт) {у, г, г1)} = ят (TpvipT) (у, г, t)l, из (15) получаем
dgi (X) = Д4 jt/Hcp (Y, Z, (WO (^> z> 0 ei>7z Yh dt Н-
+ Л4[{ср1(П, Z, 0Т-Ф1т^т (WI)(H, Z, t)}x
х eiY z | Yfa (ЬШГ1 (Y, t) (dY-ф, dt). 4 (16}
Правая часть здесь представляет собой функционал от характеристической
функции gt(Z), рассматриваемой как функция Я, поскольку апостериорное
распределение вектора Zt полностью и однозначно определяется этой
характеристической функцией. Поэтому (16) представляет собой
стохастическое дифференциальное уравнение для апостериорной
характеристической функции gt(Z). Это уравнение нелинейно, поскольку
ц>1=М[ц>1(У, Z, t)\ У[0] тоже является функционалом от gt(z)-
460
ГЛ. 7. ТГОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
В начальный момент /0 gto (Я) представляет собой условную
характеристическую функцию величины Z0 относительно Y0. Это служит
начальным условием для уравнения (16).
Решив уравнение (16), можно легко вычислить оптимальную оценку Z вектора
состояния системы Z, определяемую формулой (7). Для этого достаточно
вспомнить, как выражается математическое ожидание через
характеристическую функцию (ТВ, п. 4.5.3). Тогда получим
dgt (7) д к
Z=M[Z\YU= ,= 0. (17)
7.2.6. Уравнение для апостериорной плотности. Из уравне ния (16)
совершенно так же, как было выведено уравнение (5.56) в п. 5.3.6,
выводится стохастическое уравнение для апостериорной плотности pt (г)
вектора Zf:
dpt(z) = - [ф (Y, z, t)pt(z)] dt-\-
^Ttr 2' 0Mz)]}df +
+ |[cpi(r, г, ^)T - ФГ] (2) -
- (V, г, t)pt (z)]l (фл'фО-ДР, t)(dY - щеп). (18)
Имея в виду, что
СО
cpi = М [cpi (У, Z, 0|WJ= S фД^. г, t)pt(z)dz,
- 00
заключаем, что (18) представляет собой нелинейное стохастиче-ское
интегро-дифференциальное уравнение относительно апостериорной плотности
pt(z).
В начальный момент t0 pt" (2) представляет собой условную плотность
величины Zu относительно Y0. Это служит начальным условием для (18).
Решив уравнение (18), можно найти по формуле (7) оптимальную оценку Z
вектора состояния Z системы:
00
Z=M[Z\YU= J zpt(z)dz. (19)
- СО
Однако реализовать эту возможность, так же как и вычислить Z по формуле
(17), чрезвычайно трудно; как уравнение (16), так и уравнение (18) можно
решить только после получения результатов наблюдений У\0, что невозможно
выполнить в натуральном масштабе времени в процессе работы системы.
§ 7.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
461
Так как формула (15) определяет стохастический дифференциал Ито
случайного процесса /(/), то уравнения (16) и (18) представляют собой
стохастические уравнения Ито.
Уравнение (18) было впервые получено при более жестких ограничениях
основоположником теории нелинейной фильтрации Стратоновичем в иной форме,
а именно в форме стохастического уравнения Стратоновича (т. е. в 1/2-
дифференциалах; см. п. 3.6.4) [73]. Уравнение для pt (г) в форме Ито было
получено Кушнером, тоже при более жестких ограничениях [44 - 46]. Поэтому
уравнение (18) обычно называется уравнением Стратоновича - Кушнера.
Уравнение для pt (z) в форме Стратоновича или с применением других 0-
дифференциалов можно получить из (18) поформуле (3.85) перехода от
уравнений Ито к уравнениям в 0-дифференциалах, приняв во внимание, что
коэффициент при dY в (18) зависит от пяти случайных процессов Фх(Пь z,
t), ср^/), д (фм\|ф) (Y, z, t)jdz, pt(z), dpt(z)/dz, для которых можно
найти стохастические дифференциалы Ито по формулам (3.61), (15) и (18).
Мы предоставляем читателю выполнить это, если он пожелает.
7.2.7. Стохастический дифференциал апостериорного математического
ожидания. Формула (7) определяет оптимальную оценку как апостериорное
математическое ожидание соответствующей случайной величины. Точность
оптимальной оценки при данных результатах наблюдений характеризуется
апостериорной ковариационной матрицей оцениваемой случайной величины.
Поэтому для развития теории оптимального оценивания необходимо вывести
формулы для стохастических дифференциалов апостериорных математического
ожидания Z и ковариационной матрицы R вектора состояния системы. Эти
формулы легко выводятся из общей формулы (15). Так как формула (15)
определяет стохастический дифференциал скалярной функции состояния
системы, необходимо применять ее для каждого элемента матриц Z и R по
отдельности.
Положив в (15) f(Z, t) = Zk, будем иметь
/; = 0, /г = [0... 1... 0]т, fzz = 0,
к
и формула (15) даст
dZk = ykdt + М [Zk (ер? - ф[) +
+ (TvT1)aI^"](TivTt)_1(^^ - (Pidt) (k=\,...,/?), (20)
где в соответствии с общим обозначением п. 7.2.2
Ф k = M[yk{Y, Z, t)\ Г["],
(TvibC)A - k-я строка матрицы i|rvi|T и аргументы функций ф1; фмф[ и
