Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Zt и АУ относительно У\а, а интеграл в знаменателе- условную плотность
величины AF относительно У\ Для определения qt(AY\Yt, z) заметим, что на
основании первого уравнения (9) npnZ = z
AY = (fl(Yt, z, 1)Ы-У^(УЬ ()Ш,.
Отсюда видно, что при данных значениях Yt и Zt = z А У представляет собой
линейную функцию нормально распределенной величины ДПС. Следовательно,
условное распределение AF при данных значениях Уt и Zt = z нормально, и
для определения qt(AY\Yt, z) достаточно найти соответствующие условные
математическое ожидание и ковариационную матрицу вектора АУ. Пользуясь
известными формулами для математического ожидания и ковариационной
матрицы линейной функции случайного вектора (ТВ, п. 3.3.5), принимая во
внимание, что ковариационная матрица вектора AW, равна IтAt, и опуская
аргументы функций Ф1 и \|д, получаем *)
M[AY\Yt, г] = ф! Аг1, /Слу = ФЖтА/,
или, принимая во внимание первое уравнение (10),
M\AY\YU z] = ф1А/, K\y = ф^фД А/.
Следовательно,
qt(AY\Yt, z) = сехр j - ^ (ДУТ - ср! At) (ф^фД-1 (ДП-ф1 А/)|,
где с - нормирующая постоянная. Учитывая, что величины At и AF бесконечно
малы, можем представить показательную функцию формулой Тейлора с
остаточным членом порядка о(А^). Тогда получим
Д(А^1 У и z) = с ехр | - -2^АГт(ф1хф1)~1АГ +
+ ф! (ФхЧ'О-1 - у ф! (ФА'Ф!)-1 Фх А/| ==
= сехр у^-АГт(ф1гф1)"1АУ| [ 1 (ф^ф!)"1 АУ-
- ¦ФТ (Фх^Ф!)-1 Фх А/? ДуфИф^фт)-1 ДГ АГт(ф1уф1)"1ф^ .
*) Через 1т обозначается единичная тхт-матрица.
§7.2- ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
457
Учитывая, как и в п. 3.5.2, только математическое ожидание величины АУ
ДУТ,
М AУ ДУТ = (|'j АР -f- At = At ф о {At),
получим
qt{AY\Yt, z) = cexp j - yiy ДУТ (фуф!)-1 ДУ j [1 + ctf (ф^ф!)"1 АУ]
и, так как фх не зависит от z,
00
S Pt{*)qt(bY\Yu z) dz -
- оо
= с exp j- уС_ дут (oi^vTpI)-1 АУ I [1 -ф ф] (фдуфф)-1 А У],
где
00
Ф1= $ ф1Р((г)* = М[ф1(У(, Zu t)\Y\a].
- 00
Подставив полученные выражения qt (АУ | У(, z) и интеграла в (13), будем
иметь после сокращений
пЧг\-п (-.И + фИфгНпГ^
Pt\Z) Pt \Z) - , ~т/. , т\ - 1 а ТУ *
1+ф1 (ipiVipi) Y
Представив 1/[1 + Ф^фут-фС)-1 АУ] формулой Тейлора с остаточным членом
порядка о (At), выполнив умножение и учитывая, как и раньше, только
математическое ожидание величины АУАУТ, получим
Pt (2) = Pt (2) LI + ФТ (TivTI)-1 АУ] [1 - ф! (ф^ф?)"1 АУ -f + ф! (ФтЧтГ1
АУ АУТ (ф^ф^-Ур^ =
= Pt (2) {1 + (ФТ- фГ) (ф^ф!)-1 [АУ- АУ АУ^(ф^ф1)-1 $J} =
= Pt (2) [1 -у (фТ - ФТ) (Ф^Ф!)-1 (АУ - ф! At)].
Теперь можно вычислить второе слагаемое в правой части формулы (11).
Учитывая, что согласно (3.61)
/ (Zt+ы, t -Т А^) =
= f(zu t) + {ft(Zu t) + f2(Zu ОтФ + у tr[/"(zo 0WT]} AtJr
+ fz(Zu От(Ф'АГ1 + г1з'ДГ2) =
= f(Zu t) + f1At + fz(Zu /)т(Ф'А1У1 + Ф"АГ2),
где
fi=^ft(zt, t) + fz(Zt, ty ф + ytr [fzz(zu Офтфт],
458
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
а ф' и г]/ зависят только от Y t, Zt, t, находим
M[f(Zt,Kt, t + At)\ t~M)\Yi} =
00
= S [/ (2, о -Г h bt + fz (г, От (Ф' д^ -fф" ^)] W (2) - Pt (2)] dz = -
00
00
= 5 [f(z, t) + hAt + fz(z, ОМ^Д^ + ^'Д^Лх
- CO
x (<fi -cfD (фуг-фф)"1 (AF - Cfj At) pt (z) dz,
или, пользуясь первым уравнением (9) и учитывая только слагаемые порядка
не выше At,
M[f(Zt+&t, t + At)\YiyAt]^M[f(Zt + &t, t + At)\Ytto] =
f У, t) (фТ - ф!) Pt (2) dz (ф^фТ)"1 (AF - cpx At) +
"
+ J fz(z, ОЧФ'Д^Д^ФГ + Ф'ДИ^ДИ^ФПх
- 00
X (ф^ф!)"1 ((Pi - 9i) pt (2) dz = M[f (Zt, t) (ф! - ф!) I Y\J x
00
x (ipivtf)-1 (AY -ipi dt)+ J fz(z, t)! (¦§' AWtAWl^-p
- CO
+ ф" AW2 AWl фдт) (ф^фф)-1 (cpx - ф1) pt (2) dz.
Наконец, учитывая только математические ожидания величин AW-tAWl и
AW.2AWl и принимая во внимание, что вследствие независимости W, и Wx
MAW1AWl=Q и что согласно второму уравнению (10) ф"ф-"т = ф^фф, получим
M[f(Zt + At, t + At)\Ytit^]-M\j(Zt+&t, t + At)\Yl] =
= M[f(zt, 0"(ф1- ф!)I К](wr1 (ДУ-Ф1А0 +
4- M [fz (Zt, ty TpvTpJ (ф^фф)-1 (ф1 - cPl) | F*J At. (14)
Подставив выражения (12) и (14) в (11) и переходя от приращений к
дифференциалам, получаем окончательную формулу для стохастического
дифференциала оптимальной оценки величины f(Zt, t):
dJ=M ft (Z, t) + fz (Z, t)T ф (F, Z, t) ф-
J_
2
fltr {f"(Z, t) (фvфт) (F, Z, t)}\Yi
dt ¦
-\-M[f(z, /){ф1(^/1 z, ty ф!}+
+ fz(Z, ty (iM>I)(F, Z, t)(dY - ^dt), (15)
§7.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
459
где для краткости положено
(ipvTpT) (г/, г, t) = ф (у, z, t)v(t)^(y, г, ty,
("'ЭЬ, 2, t) = ^(y, z, t)v(t)^(y, ty,
(Чт^1)_1(у, 0 = K'i(y. 0v (0 i'i (y> 0T]_1- <
Формула (15) справедлива, конечно, только в том случае, когда существуют
производные ft, fz, fzz и все условные математические ожидания в ее
правой части.
Заметим, что все разложения по формуле Тейлора, которые были выполнены
при нахождении . qt (AY | Yt, г) и /ф(г), строго говоря, законны только
под знаком интеграла вида
J F(z)p't(z)dz
с попутным доказательством возможности пренеоречь остаточными членами.
Для упрощения мы выполнили эти операции до вычисления интегралов, имея в
виду, что это не могло повлиять на окончательный результат. Формула (15)
