Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Ф1
ф
v [фффт] А t-го (At)
О фт Ф' Ф".
О ф'т -Ф? Ф"'
А/.
Отсюда, разделив обе части на At, при At -*¦ 0 получаем
фдлфф фдгфт ф'г'фГ фд'ф"т
- фтфгт фтфт - Д/'ФД ф ''Ф'т ф;"ф"т -
или
ФЖТ = ФиФТ. Ф"Ф? = Ф^ФТ. Ф'Ф'Т "г Ф"Ф"Т = ФЛ'Фг
(10)
Остается решить эти уравнения последовательно относительно ф'(, ф" и ф'.
Первое уравнение (10) имеет очевидное решение Фф^Фдт1^. Определяемая этой
формулой матрица ф'( не зависит от Z, так как фх не зависит от Z. Второе
уравнение (10) имеет решение тогда и только тогда, когда матрица фд(г/,
i) обратима при всех у, t. Для этого необходимо, чтобы матрица фдтг|ф
была обратимой при всех у, t, так как на основании первого уравнения (10)
I ф! |2 = | Ф'ЧФФ |- В этом случае второе уравнение (10) дает ф" =
=фмф((фд_1)т. После этого третье уравнение (10) приводится к виду
ф'ф'т = фуфт - фмфф (фд-1) г (фд-1) фдтфт,
или, так как в силу первого уравнения (10) (фд-1)т (фд_1)г--(ф^дт)-1'
ф'ф'т = фтфт - фмфф (ф^-фф) -1 фдуфт.
Правая часть этого уравнения представляет собой симметричную матрицу.
Докажем, что она неотрицательно определенна. Для
454
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
этого заметим, что матрица
А =
пропорциональная ковариационной матрице вектора [г|ффт]т dW,
неотрицательная определенная, вследствие чего при любом векторе u =
[ii[uX]T
urAu = -г + "Ii|:1vij5Ta2 + и1АЩти2 > 0.
Положив здесь = - (г|^г|ф)-1 г|дмфти,, будем иметь l|*Vl|)TH2 -
(ijJiVtl)"1 t|51V^T"ss -
- г4\|^ф( (ф^ф!)-1 Ti^T"2 + ultyv§Tu2 A' 0,
или, после сокращений,
ul [il?vojjT - ij-vTpJ (ф^ф*)-1 Tpivipr] u2 A- 0.
Справедливость этого неравенства для всех ^-мерных векторов ц2 доказывает
справедливость нашего утверждения. После этого решение последнего
уравнения (10) дается очевидной формулой ф' = = ф[л>-t|)1v]1/n Очевидно,
что в результате умножения матриц гр! и ф' справа на произвольные
ортогональные матрицы соответствующих размеров снова получится решение
уравнений (10). Ч
Таким образом, уравнения (10) имеют бесконечное множество решений и,
следовательно, уравнения (8) приводятся к виду (9), если матрица ф^г/, /)
v (/) (г/, /)Г обратима при всех у, t.
7.2.4. Стохастический дифференциал оптимальной оценки функции
состояния системы. Теперь мы можем найти стохастический дифференциал
оптимальной оценки данной скалярной функции вектора состояния системы и
времени f(Z, t).
> Рассмотрим два бесконечно близких момента времени t и / + Д/, А/> 0.
Тогда будем иметь
А/ (/) = /(/ + А/)-/(/) =
- М[} (Zt+bt, i + At)\Y^]-M[f(Zt, /)|У?"] =
= M[/(Zi+Ai, / + А/) - f(Zt, ^)|П<0] +
+ M[f(Zt+At, t + M)\Y\:^-M[f{Zt,u, t + At)\Yll (11)
Вычислим каждое слагаемое в правой части по отдельности. По формуле
дифференцирования сложной функции (3.61) в силу второго уравнения (9)
получаем, опустив для краткости аргументы
§7.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
455
функций,
f{Zt+Li, t-У At)- /(Zf, t)--^fi(Zu t) + fz(Zu t)T ф
1
+ i tr ( fzz (Zf, t) [ф'ф"] [ J" j [• А/ + fz (Zt, ty (ф' ДГХ + ф" AW у
=-= |/t(^t> 0 + fz(Zt, t)1 ф + у tr [fzz (Zt, t) (ф ф г -p T5jZr)]| А/ +
где, как и в п. 3.5.2, ft(z, t) = df(z, t)/dt, fz(z, t) - матрица-
столбец, элементами которой служат производные функции / (г, t) по
компонентам вектора г, fzz(z, t) - квадратная матрица вторых производных
функции /(г, t) по компонентам вектора z. Подставим сюда выражение Д1Й2
из первого уравнения (9),
ДГ2 = фд-1(АГ-ф1А/).
Взяв условное математическое ожидание полученного выражения относительно
И(0, пользуясь третьим уравнением (10) и учитывая независимость AWt от
Д1И2, а следовательно, и от AY, получим при фиксированном AY
M[f(Zt+AU t + At) - f {Zt, 01 Y\}=M[ft(Zu t) + f,(Zf, ty cp +
+ у tr {fzz (Zt, /)ф\'фт} | HJJ А/ +
-r M Uz (zt, t) ' ф'^Г1 (A^ -Ti A0 I Yjo],
Наконец, из первых двух уравнений (10) находим
ф" = фуф? (фг1)т, ФГ1 = ф? (фчЧФ) -1.
Подставив эти выражения в предыдущую формулу и учитывая, что фг не
зависит от Zt, будем иметь
M[f(zi+At, t + M)-nzu 01 ш =
Л
м
ft(Zt, t) + fz{Zu ty y-\---tr{fzz(Zt, 0ф\?фт} | и(о
At -
2
+ MUz(zt, ^)T(T^iVipI)-1 (AK - (piAOiny. (12)
Для вычисления второго слагаемого в (11) найдем условную плотность
вектора Zt относительно Yt0At. Пусть pt{z) - условная плотность вектора
Zf относительно Y\o, т. е. его апостериорная плотность, <7f(r]|z/, г) -
условная плотность величины АП при данных значениях у, z векторов Yt, Zi.
Так как при фиксированном значении г вектора Z, первое уравнение (9)
определяет марковский процесс Yz{t) (п. 3.6.2), то плотность qt{r\\y, г)
совпадает с условной плотностью величины АП при данных значениях yjo и z
величин Y\a и Zt (см. п. 2.1.3). Следовательно, на основании теоремы
умножения плотностей (ТВ, п. 4.2.2) условная плотность p't (г) вектора Zf
относительно И^+Л< или, что одно
456
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
и то же, относительно У\а и АУ определяется формулой
pAz) = _Pt^)qt^Y\Yu г) (13)
5 Pt(z)qt(bY\Yt, z) dz
- X
Числитель здесь представляет собой совместную условную плотность величин
