Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
пока не решена. В частном случае, когда процессы Y (t) и Z(t)
определяются уравнениями (5) или (6), она может быть решена при некоторых
дополнительных ограничениях. Однако даже в этих случаях практическое
применение формулы (7) представляет большие, часто непреодолимые
трудности. Причиной этого является то, что определение апостериорного
распределения всегда требует очень громоздких вычислений, которые могут
быть выполнены только после наблюдений. Это приводит к большим затратам
времени на вычисление оценок после наблюдений. Практически же во многих
случаях оценки необходимо получать в реальном масштабе времени по мере
поступления результатов наблюдений.
Однако трудности применения формулы (7) не снижают значения теории
оптимального оценивания и экстраполяции. Эта теория необходима для
изучения потенциальной точности оценок, т. е. предельно достижимой
точности оценивания.
7.2.2. Вспомогательная задача. В основе теории оптимальной фильтрации
лежит общая формула для стохастического дифференциала оптимальной оценки
данной функции вектора состояния системы. Пусть /(Z, t) - некоторая
скалярная функция/7-мерного вектора состояния системы и времени. Ее
оптимальная оценка по результатам наблюдения Y\a согласно (7)
определяется формулой
/(0 = M[/(Z, /)Щ].
Эта оценка представляет собой функционал от случайного процесса Y (/) на
интервале времени (70, t\ и, следовательно, сама представляет собой
случайный процесс. Поставим задачу: найти стохастический дифференциал Ито
этого процесса.
Эта задача может быть решена при условии, что W (t) в (5), (6)
представляет собой винеровский процесс, размерность которого q не меньше
размерности m наблюдаемого процесса Y (/), и что функция x|'i в (5) не
зависит от Z. Уравнения (5) в этом случае имеют вид
dY = q>1 (Y, Z, t)dt + ^(Y, t)dW,
\°)
dZ = (f{Y, Z, t)dt + ip(Y, Z, t)dW.
7.2.3. Преобразование уравнений. Чтобы упростить задачу нахождения
стохастического дифференциала процесса/(/), преобразуем уравнения (8) к
более простому виду.
452
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
> Заметим, что при любом ортогональном преобразовании (/-мерного
пространства Rv случайный процесс
W' (t) = I се (у, т) V-1'* (т) dW (т),
где со (у, t) - матрица ортогонального преобразования, возможно,
зависящая от у и t, представляет собой винеровский процесс с независимыми
компонентами *). Действительно, ковариационная матрица значения процесса
W' (t) при данном t согласно (3.14) определяется формулой
t
MW' (t)W' (t)r = ^ СО (у, т) V1''2 (t) v (t) v-1'* (т) со (у, т)T dr = /
/,
так как со (г/, т) со (у, т)т^/ в силу ортогональности матрицы со (у, т).
Эта формула убеждает нас в том, что компоненты процесса W' (t) не
коррелированы, а следовательно, и независимы, так как винеровский процесс
распределен нормально (п. 3.4.3). При этом каждая компонента процесса W'
(/) представляет собой стандартный винеровский процесс (пример 3.1).
Заменим процесс W (t) в уравнениях (8) процессом W'(t). При этом
дифференциал dW заменится величиной v'4 (/) со (с/, t)TdW'. Выберем
теперь ортогональную матрицу со (у, t) так, чтобы привести матрицу фД//,
/) к блочному виду [0 тpi (у, /)], где первый блок представляет собой
mx(q- /??)-матрицу, все элементы которой равны нулю, а второй - mxm-
матрицу. Это при некоторых условиях возможно, так как ортогональная qxq-
матрица со имеет q (q-1)/2 произвольных элементов, которые должны
удовлетворять т (q - tn) условиям, и q (q- 1)/2 ^ с/2/4 при q ^ 2, tn (а
-т) Ос/2/4. В результате такого преобразования будем иметь
4i (И 0 jw/ _ 4т (I7' О Д(К, Z, /)J т|;(К, Z, t)
4i (Y> 1) v1'2 (t) w (И 0T ф(К, Z, t)\4* (!) со (K, t) .
v1''2 (/) co (Y, t)T dW' ¦¦
dW'-
dW' =
0 4i(K, t)
Tp' (Y, Z, l) тр" (K, Z, 0.
Tpi (У, t)d\V2 M(Y, Z, t) + (K, Z, /)dlF2..
где ИД (/) и W2(t)- независимые винерозские процессы, образованные
соответственно q - т первыми и т последними компонен-
*) Степень симметричной неотрицательно определенной матрицы v
определяется формулой v-s=:A.\MT, где Л = diag {Zi, ..., Z9}-
диагональная матрица, к которой v приводится ортогональным
преобразованием A, a As = ¦¦= diag {Zi, . .., Zj}.
§7.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
453
тами процесса W (t). При этом уравнения (8) приводятся к виду dF = cpi(F,
Z, t)dt + ty\(Y, t)d\V2,
d.Z = cp (Y, Z, t) dt-^-ty' {Y, Z, ^dW^r^'iY, Z, t)dW,
(9)
Чтобы найти матрицы ф', гр" и ф( и выяснить условия, при которых
приведение уравнений (8) к виду (9) возможно, вычислим условную
ковариационную матрицу случайного вектора
%(И О тр (К, Z, t)
ДГ =
О фа (К, I)
1d(Y, Z, t) ф"(К, Z, t)
Д1Г
относительно величин Y, Z, где AW = W (t -{- A/) - W (t), Alv" =¦ =
W'(t^At)- UZ'(i). Имея в виду, что ДИ7 и AW" независимы от Y t, Zt и их
ковариационные матрицы равны соответственно v (t) At -j- о (At) и /А/, по
формуле преобразования ковариационной матрицы при линейном преобразовании
случайного вектора (ТВ, п. 3.3.5) находим, опуская для краткости
аргументы функций ф, фд, ф', ф", фд,
