Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
тической задачи достаточно будет считать равными нулю коэффициенты при
компонентах шумов V., и V3 в первом уравнении, коэффициенты при
компонентах шумов и V3 во втором и коэффициенты при компонентах шумов и
F, в третьем.
Наконец, при решении задачи оценивания состояния системы (и неизвестных
параметров в уравнении ее модели) целесообразно сделать еще одно
обобщение практической задачи, а именно допустить, что в уравнение
состояния системы может входить и наблюдаемый вектор. Задачу
экстраполяции состояния в этой обобщенной постановке решить не удается.
Таким образом, мы приходим к постановке следующих двух математических
задач.
Задача 1. Векторный случайный процесс [FrZT]T определяется
стохастическими дифференциальными уравнениями Ито
где Y - m-мерный наблюдаемый случайный процесс, Z-/7-мерный ненаблюдаемый
процесс, W - ^-мерный процесс с независимыми приращениями (в случае
линейных уравнений (5) достаточно, чтобы он был процессом с
некоррелированными приращениями), фц (у, z, t) и q (у, z, t) - известные
векторные функции, отображающие пространство RmxRpxR соответственно в
пространства Rm и Rp, а фд (у, z, t) и ф(г/, г, t) - известные матричные
функции, отображающие RrnxRpxR в R"1- и RpQ соответственно. Требуется
оценить вектор состояния (может быть, расширенный) системы Z в любой
момент t > ta по результатам непрерывного наблюдения процесса Y в
интервале времени [t0, /].
Задача 2. Векторный случайный процесс [FTZT]T определяется
стохастическими дифференциальными уравнениями Ито
где, в отличие от предыдущей задачи, процесс W (/) состоит из двух
независимых блоков, один из которых входит только в первое уравнение (6),
а другой - только во второе уравнение (6)*). Требуется оценить будущее
состояние системы Zt+^ = Z{tJr А), А > 0, в любой момент t > t0 по
результатам наблюдения процесса Y в интервале времени [70, t\.
*) Само собой разумеется, для этого необходимо, чтобы матрицы и ф имели
соответствующую блочную структуру ipi = [О грх], ф = [ф' 0] так, чтобы
было
т/Г = (р1(Г, Z, i)dt~i\h(Y, Z, t)dW, dZ = (p(Y, Z, t)dt-\-ty(Y, Z, t)dW,
(5)
dY = (p1(Y, Z, t)dt + Ti(F, Z, t)dW, dZ = cp(Z, t) dt ty (Z, t)dW,
(6)
гМГ=ф0ф;] = ^dW2> ydW = W0}[dd^=y>dW1.
450
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАТ] И11
Первая задача в приложениях обычно называется задачей фильтрации, так как
она технически решается путем пропускания наблюдаемого сигнала через
устройство, называемое фильтром, предназначенное для того, чтобы
"отфильтровать" помеху и получить на выходе сигнал, с возможно большей
точностью воспроизводящий процесс Z(t).
Вторая задача обычно называется задачей экстраполяции или прогноза.
Как мы знаем, стохастические дифференциальные уравнения определяют
марковский случайный процесс (п. 3.6.2). Следовательно, поставленные
задачи представляют собой задачи оценивания и экстраполяции одних
компонент марковского процесса по результатам наблюдения остальных его
компонент.
§ 7.2. Оптимальная фильтрация
7.2.1. Общая формула для оптимальной оценки. Поставленные в п. 7.1.6
задачи можно решать различными способами в зависимости от того, какие
оценки желательно получить. Естественно потребовать, чтобы оценки
процесса Y (/) или его будущего значения К(/4-А) были в некотором смысле
оптимальными. Если задать критерий оптимальности, то задачи, поставленные
в п. 7.1.6, станут вполне определенными. Естественньм критерием
оптимальности во многих задачах математической статистики служит критерий
минимума среднего квадрата ошибки, M\Z-Z|2=min. Если принять этот
критерий, то общее решение задач п. 7.1.6 и других более общих задач
оценивания немедленно получается из известного свойства моментов второго
порядка: из всех моментов второго порядка скалярной случайной величины
наименьшим является ее дисперсия - центральный момент второго порядка.
Отсюда следует, что наилучшее приближение случайной величины (как
скалярной, так и векторной) неслучайной величиной с точки зрения критерия
минимума среднего квадрата ошибки дает ее математическое ожидание. В
частности, наилучшее приближение случайной величины по результатам
наблюдения дает апостериорное математическое ожидание этой величины, т.
е. ее условное математическое ожидание относительно результатов
наблюдений.
Обозначим через Y\ совокупность значений наблюдаемого процесса в
интервале времени [/0, /], К^={П(т): т ? [70, /]}. Оптимальная оценка
вектора Zn = Z(u), дающая решение задачи 1 при u = t и решение задачи 2
при " = А, определяется фор.мулой
Zt = M[Za\Yl]. (7)
Эта формула определяет оптимальную оценку значения Zu любой случайной
функции Z{t) по результатам наблюдения другой случайной функции Y (t) в
интервале [?", t\. Она справедлива также
§ 7.2, ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
451
для случая векторного аргумента / и наблюдения случайной функции Y (/) на
любом множестве Т значений t.
Для практического применения формулы (7) в общем случае необходимо найти
апостериорное распределение Zu, Эта задача очень сложна и в общем случае
