Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
§7.1. ЗАДАЧИ ОЦЕНИВАНИЯ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 447
мы построенной моделью и принять решение об адекватности этой модели.
Оценив таким путем ряд вариантов моделей системы, можно выбрать из них
наиболее подходящий (см., например, [36]).
Построение модели какой-либо системы нли процесса обычно называют
идентификацией этой системы или процесса *).
Задача построения модели сложной системы и проверки ее адекватности очень
сложна, и соответствующая теория пока еще слабо разработана. Однако одной
из важнейших задач теории построения моделей систем по экспериментальным
данным является задача оценивания параметров модели по результатам
наблюдения поведения системы, рассмотренная в п. 7.1.2.
7.1.5. Экстраполяция состояния системы. Во многих задачах практики важно
не только оценивать текущее состояние системы, но и прогнозировать
будущее состояние системы по результатам наблюдения ее поведения. Это
необходимо, в частности, для решения многих задач управления, а также для
того, чтобы не допускать приближения к опасным режимам работы системы.
Так, например, при летных испытаниях летательных аппаратов
прогнозирование их состояния помогает избежать опасных режимов полета.
Задача прогнозирования, т. е. экстраполяции состояния системы, по
существу представляет собой задачу оценивания ее будущего состояния. Эта
задача отличается от задачи п. 7.1.1 только тем, что вместо оценивания
вектора Zt = Z(t) требуется в каждый момент t > t{) оценивать вектор
Zt+:\=Z(tJr А) при некотором А > 0. Можно также поставить задачу
одновременного оценивания векторов Zt д,, ¦ • •, ^+д для 0 < Лх < . . . <
A.v.
7.1.6. Постановка математических задач оценивания и экстраполяции.
Поставленные задачи оценивания и экстраполяции сравнительно легко
решаются, если не только уравнение модели системы (1), но и уравнение
модели измерений (3) представляет собой стохастическое дифференциальное
уравнение. Уравнение (3) будет стохастическим, если ошибка измерения
представляет собой белый шум, U - V,, который в этом случае входит в
уравнение (3) линейно, вследствие чего уравнение (3) может быть
переписано в виде
У = Ф1(У1 Z, /)-Му(У, 2, t)V2. (4)
Так, например, в случае пропускания результата измерения с
высокочастотной помехой через линейный фильтр эту помеху можно считать
белым шумом. Если же помеха в измерениях U отлична от белого шума, то
уравнение (3) следует привести к
*) По-английски "identification" означает "отождествление". Этот термин
нельзя признать удачным, так как никакая математическая модель не может
быть тождественной реальной системе.
448
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
стохастическому дифференциальному уравнению одним из методов, изложенных
в § 5.1. Если для приведения уравнения (3) к стохастическому уравнению
применяется метод формирующего фильтра, то уравнение (3) заменится
системой уравнений вида
где V3 - белый шум, как правило, независимый от Fj в (1), а <a(U1) = U. В
частности, а>(6\) может представлять собой часть компонент вектора Uг.
Включив компоненты векторной случайной функции U1(t) в вектор состояния
системы в качестве дополнительных компонент, получим для составного
вектора Z' = = [ZT?/J]T и для вектора Y систему стохастических
дифференциальных уравнений
г' = [zT"I]T, a Vi - [VjV;]т - составной белый шум. Таким образом, и в
этом случае приходим к задаче, в которой состояние системы описывается
стохастическим уравнением (1), а наблюдаемый процесс определяется
дифференциальным уравнением (4), с той лишь разницей, что в этом случае
оцениванию подлежит лишь часть компонент вектора состояния, а функция фу
в (4) равна тождественно нулю. Первое отличие несущественно. Второе же
очень существенно. На первый взгляд кажется, что случай, когда фу (у, 2,
/).= 0 в (4), является частным случаем. В действительности же методы
решения общей задачи при фу (у, г,/) Ф 0 неприменимы к частному случаю,
когда фу (г/, 2, t) = 0. Поэтому случай фу (у, z, t) = 0 является особым
случаем, требующим специального подхода.
Таким образом, мы приходим к задаче оценивания вектора состояния Z' =
Z'(t) системы, описываемой уравнением (1), или его будущего значения Zt.
д = Z (t -f А), А > 0, в каждый момент t > t" по результатам наблюдения
процесса Y в интервале времени \t0, f\. Эту задачу нужно решить в двух
вариантах. Во-первых, при фу (г/, г, t) Ф 0 (при любых у, г, t), а во-
вторых, при фх (у, г, t) = 0.
Белые шумы Уг, V2 и V3 в уравнении системы (1), в уравнении наблюдения
(4) и в уравнении формирующего фильтра в задачах практики обычно
независимы. Однако с математической точки зрения их целесообразно
рассматривать как блоки составного векторного белого шума V = [VlVlVJ]T,
от которого зависят правые части всех трех уравнений. Тогда для перехода
от решения математической задачи к решению соответствующей прак-
= О + Ф'2^1. t)Vs, ^ = <Pi(E, Z, со (i/0, t),
где
ФУ (у, 2', t) = Фх (у, 2, "(",)),
§7.1. ЗАДАЧИ ОЦЕНИВАНИЯ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 449
