Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
наблюдения процесса Y, определяемого дифференциальным уравнением (3), в
интервале времени [/", /].
7.1.2. Оценивание неизвестных параметров системы. В некоторых случаях
дифференциальные уравнения модели изучаемой системы могут содержать
неизвестные параметры и, как правило, всегда содержат параметры,
известные с ограниченной точностью. Так, например, в уравнения движения
летательного аппарата в воздухе входят аэродинамические коэффициенты,
которые определяются экспериментально путем продувок моделей летательного
аппарата в аэродинамических трубах. Естественно, они определяются с
ограниченной точностью, а некоторые из них - с очень низкой точностью.
Поэтому возникает задача оценивания неизвестных параметров системы
(точнее, ее модели) по результатам измерений.
Предположим, что функции ср и ф в уравнении (1) зависят от конечного
множества неизвестных параметров, которые мы будем рассматривать как
компоненты вектора 0. Тогда уравнение (1) можно переписать в виде
Z = (p(Z, 0, /) + T(Z, 0, t)Vlt
где ф(г, 0, t) и ф(г, 9, /) -полностью известные функции указанных
аргументов. В таких случаях обычно применяют следующий прием: неизвестный
векторный параметр 0 считают случайным процессом 0(0, который
определяется дифференциальным уравнением
0 = 0,
и включают компоненты этого векторного процесса в вектор состояния
системы ("расширяют" вектор состояния путем включения в него всех
неизвестных параметров в качестве дополнительных компонент). В результате
получается дифференциальное уравнение, определяющее расширенный вектор
состояния системы Z' = [ZT0T]T:
d
If
Ф (Z, 0, t)
0
+
гр (Z, 0, t) 0
ИЛИ
Z' = cp'(Z', /) + ф'(2', t)V,.
Таким образом, задача оценивания неизвестных параметров модели системы
сводится к задаче оценивания состояния системы с расширенным вектором
состояния.
От неизвестных параметров может также зависеть функция фг в уравнении
наблюдения (3). Эти параметры также следует включить в вектор 0и,
следовательно, в расширенный вектор состояния.
7.1.3. Распознавание сигналов. Во многих задачах распознавания (ТВ,
п. 10.4.1) наблюдаемой случайной величиной явля-
446
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
ется некоторая функция случайного процесса, определяемого стохастическим
дифференциальным уравнением, зависящим от того, к какому из
распознаваемых классов относится этот случайный процесс. В этом случае
задача тоже сводится к оцениванию неизвестного параметра в стохастическом
дифференциальном уравнении. Предположим, что функции ср и ф в уравнении
(1), а может быть, и функция (щ в уравнении наблюдения (3) зависят от
неизвестного параметра 0, который может принимать одно из конечного
множества значений 0ц . . ., 0iV, соответствующих распознаваемым классам
сигналов Аи Ах. Тогда задача распознавания сведется к решению вопроса о
том, какое из значений 0ц . . ., 0 v имеет параметр 0 для данного
наблюдаемого сигнала. Но значение параметра 0, выдаваемое системой
распознавания, можно рассматривать как оценку параметра 0. Таким образом,
поставленная задача распознавания также сводится к задаче оценивания
неизвестного параметра в стохастическом дифференциальном уравнении.
Поэтому и для решения задачи распознавания можно применить прием
расширения вектора состояния системы. Заменив параметр 0 случайным про
цессом, определяемым уравнением 6 = 0, и включив (c) в вектор состояния,
сведем задачу к оцениванию вектора состояния системы. Единственное
различие состоит в том, что в задаче п. 7.1.2 параметр 0 неизвестен и
априори может принимать любые значения, а в задаче распознавания 0 может
принимать лишь одно из конечного множества заранее известных значений 015
. . ., 0jV-
В частном случае, когда 0 может иметь лишь два значения
и 02 и одному из них соответствует уравнение 2 = 0, задача распознавания
представляет собой задачу обнаружения сигнала, определяемого
стохастическим дифференциальным уравнением.
7.1.4. Построение математических моделей систем. В п. 1.1.5 уже
говорилось о том, что большое значение для современной теории управления
имеет задача построения математических моделей объектов управления, даже
в тех случаях, когда объекты управления имеют столь сложную природу, что
не могут быть описаны какими-либо уравнениями, вытекающими из законов
физики или других отраслей науки, пользующихся математическим описанием
изучаемых явлений. Удовлетворительные математические модели таких систем,
естественно, нельзя построить, не прибегая к их экспериментальному
изучению. В таких случаях можно пользоваться следующим способом
построения математической модели изучаемой системы. Сначала на основе
предварительного изучения общих закономерностей поведения системы
написать предполагаемые уравнения ее модели с неопределенными
параметрами. Затем по результатам наблюдения работы системы оценить
неизвестные параметры в принятых уравнениях модели. После этого оценить
качество воспроизведения поведения систе-
