Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
характеристическую функцию gi (а; /), при Я1=-ЯЛ'\ ..., Ar--)JVr'1, А,('Ы
лм/Д (v = 0, ±1, ..., ±s), формулой
aVl Vr=-*I(*<V,)- ^(Vr); ")/(2д)г Ь'ъ хг = 0, ±1, ....
± s).
6.28. Показать, что для системы примера 1.24 в случае, когда вектор
случайных возмущений N (t) = [^Va (f) Л'2(/)]г является нормальным
двумерным белым шумом с матрицей интенсивностей v, моменты ar. s про-
цесса Z--[Z1Z2]V определяются бесконечной системой уравнений (18).
распадающейся на независимые системы уравнений для моментов каждого
данного порядка:
"Г, Sгаг _,, ,9 +1 - sa&ar +5 4 -r (г - 1) аг _ 4 ф-
~ ~2 Ш° S (S- Н (Vllar. S -2 ~'г 2v VLrJ*r Tl, I-2T V22 rJ-r ¦- 2, s
- 2)
(r, s - 0, 1, 2....I r Ij s I -= 1, 2, ...).
Г Л А В Л 7
ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
§ 7.1. Задачи оценивания в стохастических системах
7.1.1. Оценивание состояния системы. На практике часто возникают
задачи определения состояния системы по результатам измерений. Так как
измерения всегда сопровождаются случайными ошибками (общепринятая
математическая модель измерений), то следует говорить не об определении
состояния системы, а о его оценивании путем статистической обработки
результатов измерений.
Мы будем рассматривать здесь задачи оценивания состояния систем, моделями
которых могут служить стохастические дифференциальные уравнения (о
приведении дифференциальных уравнений системы к стохастическим
дифференциальным уравнениям см. в § 5.1).
Предположим, что поведение системы описывается стохастическим
дифференциальным уравнением Ито
Z = ф (Z, t)V 1, (1)
где Z - /7-мерный вектор состояния системы, Vx - ^-мерный векторный белый
шум, ср (z, t), ф(г, /) - известные функции состояния системы и времени.
Очевидно, что значениями функции ф(г, /) служат р-мерные векторы, а
значениями функции ф(г, t) - р X ^/-матрицы.
Если непрерывно измеряется вектор состояния системы Z, то результатом
измерения будет /7-мерный случайный процесс X (t) = Z (t) -j- U (/), где
U (t)~ ошибка измерения, представляющая собой случайную функцию времени.
Однако на практике обычно измеряются не компоненты вектора состояния, а
некоторые функции вектора состояния. Впрочем, могут измеряться некоторые
компоненты (не все) вектора состояния. Эти компоненты также можно
рассматривать как функции вектора состояния. Так, например, состояние
летательного аппарата обычно характеризуется углами, определяющими
направление его вектора скорости и его осей в пространстве, и декартовыми
координатами его центра массы. При этом во время летных испытаний
измеряются наземными средствами, как правило, сферические координаты
центра массы летательного аппарата. Бортовыми же средствами
непосредственно можно измерять только углы, определяющие направления его
осей (т. е. некоторые компоненты
444
ГЛ. 7. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
вектора состояния). Все другие измерительные средства на борту производят
измерение некоторых функций состояния.
Итак, в общем случае результат измерений определяется формулой
Х = Х(/) = <Ь(2, U, /), (2)
где X - /л-мерный вектор, U - ошибка измерений, представляющая собой
векторную случайную функцию времени размерности г^т, срt(z, и, t) -
известная функция состояния системы, ошибки измерений и времени. Функция
qy в общем случае нелинейна как относительно вектора состояния, так и
относительно ошибки измерения. Размерность вектора ошибки U на практике
не может быть меньше числа измеряемых величин т, так как каждое измерение
сопровождается ошибкой и ошибки разных измерительных средств обычно
независимы (или по крайней мере содержат независимые слагаемые).
В некоторых случаях измерения (особенно электрические и радиотехнические)
производятся инерционными приборами или же результаты измерений
пропускаются через различные фильтры. Так, например, результат измерения
функции ф 1(Z, t), если он содержит высокочастотную аддитивную помеху,
можно пропустить через фильтр низких частот, представляющий собой
апериодическое звено с некоторой постоянной времени Т ([57], § 2.6). В
этом случае результат измерения будет представлять собой случайный
процесс Y (t), определяемый дифференциальным уравнением
ТГ + Г = ф1(2, t) + U,
где U = U (t) - ошибка измерений. То же будет, если измерительный прибор
сам представляет собой апериодическое звено.
Чтобы построить общую модель измерений, охватывающую все возможные
случаи, введем для модели (2) случайный процесс
t
Y (t) = ^ X (т) dx.
t о
Поскольку интегрирование сигнала не вызывает технических трудностей,
процесс Y (t) можно принять за измеряемый процесс. Тогда модель измерений
(2) приведется к дифференциальному Зфавнению
Y = <Pl(Z, U, t).
Таким образом, наиболее общей моделью измерений, производимых в системе,
можно считать дифференциальное уравнение
^ = Ф1(^. 2, U, t). (3)
Итак, мы пришли к задаче оценивания вектора состояния системы Z в каждый
момент t > t0 по результатам непрерывного
§ 7.1. ЗАДАЧИ ОЦЕНИВАНИЯ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 445
