Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
системы.
В дальнейшем мы будем называть входным сигналом системы всю совокупность
ее входных сигналов, выходным сигналом - всю совокупность ее выходных
сигналов и вектором состояния - всю совокупность переменных состояния
системы.
Множество всех возможных входных сигналов системы будем называть ее
пространством входных сигналов, множество всех возможных выходных
сигналов системы -ее пространством выходных сигналов, а множество всех
возможных векторов состояния системы - ее пространством состояний.
Входной и выходной сигналы системы как определенные функции времени и
изменение вектора состояния со временем характеризуют функционирование
системы или, как часто говорят, ее поведение.
§1.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ
21
1.1.4. Математическая модель системы. После определения входного и
выходного сигналов и вектора состояния системы для получения ее
математической модели остается установить соотношения между этими
величинами. Эти соотношения могут быть детерминированными или содержать
некоторые элементы неопределенности. В последнем случае обычно пользуются
статистическим подходом, приписывая случайный характер и соответствующие
распределения всем неопределенным величинам.
Таким образом, мы приходим к строгому определению математической модели
системы.
Математической моделью системы называется совокупность четырех элементов:
1) пространства состояний, 2) пространства входных сигналов, 3)
пространства выходных сигналов и 4) соотношений, связывающих входной и
выходной сигналы и вектор состояния системы.
Строго говоря, понятия входного и выходного сигналов и вектора состояния
относятся не к самой системе, а к ее математической модели. В
действительности состояние любой системы, все внешние воздействия на нее
и все ее действия на окружающую среду и, в частности, на другие системы
невозможно охарактеризовать никаким обозримым и тем более конечным
множеством величин. Поэтому, говоря о входном и выходном сигналах и о
состоянии системы, мы всегда имеем в виду входной и выходной сигналы и
состояние при-
лов служит множество всех трехмерных
векторных функций времени. Пространство выходных сигналов представляет
собой множество всех непрерывных трехмерных функций времени.
Пространством состояний служит шестимерное евклидово пространство.
Пример 2. Математической моделью движения твердого тела с одной
неподвижной точкой относительно неподвижных осей (рис. 1) служит система
трех динамических уравнений Эйлера:
нятой математической модели системы.
Пример 1. Математической моделью движения свободной материальной точки
массы т служит второй закон Ньютона
Входным сигналом при этом служит действующая на точку сила x(t), а
выходным сигналом - вектор положения точки у (t). Состояние точки в
каждый момент определяется ее координатами и вектором скорости. Таким
образом, вектором состояния точки является шестимерный вектор г = {(/,
у]. Пространством входных сигна-
Рис. 1
1хых~\~(1г ly) Wj/mz - Mx(t), 1У(r)У (IX Iz) ^Z^X ~ My (/),
h^z + Uy - Ix) (0x(0y=M2 (t)
22
ГЛ. I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
R
и трех кинематических уравнений Эйлера:
со* = гр sin 0 sin ф + 0 cos ф,
С0у = ip sin 0 совф - 0 sin ф,
СЦ,г =ф COS 0 + ф,
где Iх, 1у, 1г - моменты инерции тела относительно его главных осей
инерции xyz, (ох, - проекции вектора угловой скорости тела на
главные оси инерции, Mx(t), My(t), Mz (t) - моменты действующих на тело
сил относительно главных осей инерции, ф>, 0, ф-углы, определяющие
ориентацию главнык осей инерции относительно неподвижных осей |т]?.
Входными сигналами будут действующие на тело моменты хх-Мх, х2=Му, x3 -
MZt а выходными сигналами - три угла Эйлера у1=ф, у2 = 0, у3 = ф.
Состояние тела в каждый момент времени определяется тремя эйлеровыми
углами и тремя проекциями угловой скорости. Таким образом, вектором
состояния является С-шестимерный вектор с составляющими z1=\f), z2 = 0,
г3 = ф, z4 = cox, zs = coу, z6 = сог. Пространства входных и выходных
сигналов и пространство состояний - те же, Рис. 2 что и в
примере 1.
Пример 3. Математической моделью электрической цепи, состоящей из
резистора R и конденсатора С (рис. 2), является система уравнений,
вытекающая из законов Ома и Кирхгофа:
ux = Ri, С du2)dt = i, их + и2 = х,
где i - ток в цепи, их- падение напряжения на резисторе, и2- напряжение
на конденсаторе, х-входное напряжение. Так как величины щ и t могут быть
выражены через и2 и х из третьего и первого уравнений,
их - х - и2, i = ux!R = (x - u2)/R,
то состояние цепи можно характеризовать одной величиной z = u2. Тогда
получим дифференциальное уравнение, описывающее изменение состояния цепи
со временем:
Ti + z=x, Т = RC.
Приняв за выходной сигнал цепи у напряжение на конденсаторе u2-z, будем
иметь y~z. Пространствами входных сигналов и выходных сигналов служит
множество всех скалярных функций времени, а пространством состояний -
числовая ось.
Пример 4. Приняв за выходной сигнал электрической цепи предыдущего
