Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Математические ожидания начальных значений Zlt Z2 равны нулю.
6.16. Пользуясь результатами задачи 6.15, убедиться в справедливости
следующих приближенных формул для дисперсий и ковариаций стационарного
процесса в системах:
а) осциллятор с сухим трением, ф (zlf z2) = 6oSgnz2,
*11 - jxv2/8cl>o bl, ki2 - 0, й22=<в§Йц;
б) осциллятор Релея, q> (zi, гг) = -b^ + bszt,
&11 = (l/бшобз) (bi-)- fti + evfis), ^12 = 0, k22 = aoku;
в) осциллятор Ван-дер-Поля, ф(г!, z2) = fe(zi- l)z2,
&11 = (\+V 1+2v/(Boft)/2, ^12=0, ?22~(Bo6ii-
6.17. Найти аппроксимацию одномерного распределения с помощью моментов,
семиинвариантов и квазимоментов до четвертого порядка включительно
стационарного в узком смысле процесса в одномерной нелинейной системе
Z= - с sgn Z + V,
где V - стационарный нормально распределенный шум интенсивности v.
Результаты сравнить с точным одномерным распределением [100]
/1 (z) = ve_v|z|, gi (А.) = 2v2/(A.2 + v2) (y=2c/v).
Показать, что при v=l относительная ошибка вычисления среднего
квадратического отклонения az - V^Dz с учетом момента четвертого порядка
равна 0,705с, что составляет 0,30 %.
6.18. Пользуясь уравнениями примера 15 для моментов третьего и четвертого
порядков, показать, что стационарный случайный процесс в си"
ЗАДАЧИ
441
стеме примера 9 со значением дисперсии D=v/6, даваемым методом нормальной
аппроксимации, не существует (решение D = v/6 - лишнее).
6.19. Показать, что параметры одномерного распределения стационарного
случайного процесса в системе задачи 5.19 выражаются через четыре первых
момента рекуррентной формулой
где к., - начальный момент n-го порядка, а0=\.
6.90. Составить уравнения, приближенно определяющие одномерное
распределение стационарных колебаний самолета в вертикальной плоскости в
режиме прямолинейного равномерного горизонтального полета в турбулентной
атмосфере:
а) предполагая, что рулевая машина мгновенно устанавливает требуемое
отклонение руля высоты;
б) с учетом динамики рулевой машины.
Колебания самолета в вертикальной плоскости в турбулентной атмосфере
описываются уравнениями примера 1.23. Вертикальную компоненту Wy вектора
скорости ветра считать стационарной случайной функцией времени со
спектральной плотностью
где г - скорость полета, a L - величина, называемая масштабом
турбулентности (величина L в зависимости от состояния атмосферы обычно
имеет значения в диапазоне 200-500 м).
6.21. Составить уравнения, приближенно определяющие одномерное
распределение стационарных поперечных колебаний самолета в режиме
прямолинейного равномерного горизонтального полета в турбулентной
атмосфере:
а) предполагая, что рулевые машины мгновенно устанавливают требуемые углы
отклонения руля направления и элеронов;
б) с учетом динамики рулевых машин.
Поперечные колебания самолета в турбулентной атмосфере описываются
системой уравнений задачи 1.16. Вертикальную Wу, поперечную
горизонтальную Wz компоненты вектора скорости ветра и производную dWyjdz
считать стационарными случайными функциями
где v и L имеют те же значения, что и в задаче 6.20.
6.22. Вывести приближенные уравнения для моментов, семиинвариантов и
квазимоментов до четвертого порядка включительно для нелинейных систем
задачи 6.16. Пользуясь результатами работ [21, 22], составить программу
для автоматического составления и решения уравнений моментно-
семиинвариантного метода для систем задачи 6.16.
пс2яп-i -[(я-- 1) Сз + Со] а.п-г[(п :-2) c4-j-ci] "" + J =0, /1 = 0, 1,
2, 3,
s" (co)=il,015^-2
ct2 -f- Зсо2
V
2л (a2 + co2)2(a2+10-2co2) '
Хц(0 = ^". ^12(0 = ^. *"(0 =dWv!dz
со спектральными плотностями
Si а (w) = s23 (со) =0,
V
442
ГЛ. (3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
6.23. Вывести приближенные уравнения для моментов, семиинвариантов и
квазимоментов до четвертого порядка для координат частицы, совершающей
брауновское движение в силовом поле (пример 5.16).
6.24. Вывести приближенные уравнения для моментов, семиинвариантов и
квазимоментов до четвертого порядка включительно для систем примеров 9,
10, 11 для случая общего пуассоновского процесса.
6.25. Составить приближенные уравнения для моментов, семиинвариантов и
квазимоментов до четвертого порядка включительно для одномерного
распределения стационарного процесса в системе примера 10 в случае общего
пуассоновского процесса W постоянной интенсивности.
6.26. Вывести бесконечную систему уравнений для .моментов для системы
примера 7 в случае общего пуассоновского процесса.
6.27. Пользуясь параметризацией распределения путем приближенного
представления одномерной плотности вектора состояния нелинейной системы
отрезком ряда Фурье
Ыг; 0 * fi(z; а)- 2 "v.....Vre-^(v,zl+...+v^,.A
v" .... vr = -s
в r-мерном кубе (-А, Д)г и приравнивания ее нулю вне этого куоа, вывести
приближенные обыкновенные дифференциальные уравнения для коэффициентов
Фурье aYj v [93-95].
Указание. Учесть, что коэффициент Фурье aVi v связан со значением функции
g* (A; a) - gi (А.1( ..., %г\ а), аппроксимирующей одномерную
