Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
нормально распределенного вектора со",
/ т ч / lxlyh -alJadz р(ш"Усо0)= ]/
распределение интеграла энергии представляет собой ^-распределение с 3
степенями свободы.
6.3. Найти распределение размахов колебаний одномерного|осциллятора с
сухим трением
Z + b0 sgn Z + cooZ = О
при случайном начальном отклонении Z0 > 60/шо и Z0 = 0.
6.4. Показать, что для одномерной нелинейной системы
Z = -yZl+r (r>-1)
со случайным начальным значением Z0 п-мерная плотность определяется
формулой
/n(zi, •••, z"; llt ..., ^") = /o(zi(l- ryt1zri)llr {\- ryt1z{)-<-1 +
r)!n)y.
xTT ^(z2 -Z1 (l-гу^г1)_<1 + '-)/'') [l -frv^zi (l- rynzi)"(1+'-)]_1/'-.
1=2
I г21 < (ryt{) ~ 1/r,
где /о (го) - плотность случайного начального значения Z0.
6.5. Показать, что для линейной стохастической системы с параметрическим
шумом задачи 3.6 уравнения (20), (22) и уравнение п. 6.2.6 для
ковариационной функции имеют вид
т = - е (1 - 20ev22) т - 2e0?vj2,
D= -2е (1 - 20ev22) D + ftavu + E2v22 (m2+D) - 2ekmv12,] dKJtu t2)/dt2 =
- 8(l-20ev22) K(tu h).
Найти стационарные значения m и D, а также условия их существования.
6.6. Показать, что для линейной стохастической системы с параметрическими
шумами задачи 3.8 уравения (20) и (22) имеют?вид
m1 = m2, m2 = - "icoo (1 - 20?<aov23) - 2m2?co0 (1 - 20Сшо^зз) -
20ft?coovi3;
ftii 2ft^2,
fti2 = - Шо (1 -20?coov23) ftii - 2?co0 (1 -20?coov33) fc12-(- fc22, ft22
= 2CO0 (1 -20?ffloV23) ki2 - 4?c00 (1 - 20?cOoV33) ft22 -[-ftaVi1 -
- 2nTift(Oo'Vi2-4m2^(o0ft'vi3 ^22 (^i 4~ftii) ~b
+ |4^0)o V23 (^7l^2~bftl2) _b4^2COo'v33 (^2 ^22)'
Найти значения m и К для стационарного процесса в системе и условия
ЗАДАЧИ
439
их существования. Написать для этого процесса уравнения для
ковариационных функций.
6.7. Написать уравнения (20) и (22) для линейной системы с
параметрическими шумами задачи 3.11. Найти стационарные режимы и условия
их существования.
6.S. Вывести формулы для ф0 и *ь приведенные в таблицах 1 и 2 приложения
5.
6.9. Показать, что для одномерной нелинейной системы
2-ф (Z) = V,
где V - белый шум интенсивности v, метод нормальной аппроксимации для
математического ожидания т, дисперсии D и ковариационной функции К (1\,
ь) дает уравнения
т = -ф0 (т, D), D = -2k1(m, ?)) -v,
ЗА" (П, t2)/dt2 = - *i (m, D)K{t1, t2).
6.10. Пользуясь уравнениями задачи 6.9, показать, что метод нормальной
аппроксимации для стационарного процесса в системе дает показательную
ковариационную функцию * (т) = De~a Iт I, где
а) D = nv2/8c2, a = 4c2/.Tv при ф (2) -- с sgn 2;
б) D----(v/6bs)1/!!, а =¦(3/2уЬ3)',!! при ф(2)=^й323;
в) D=(l/'2^v/862)'/'2, сс = (8/л)'/2(>/'|2^/8й2)1/з
при ф (2) =. b2Z2 sgn 2.
В случае а) показать, что относительная ошибка вычисления среднего
квадратического отклонения а - VD методом нормальной аппроксимации при v=
1 составляет 1 - Vл/4, т. е. около 11% (точное значение D=l/2c2 1100]).
6.11. Пользуясь уравнениями задач 6.9 и 6.10, в случае а) найти формулу
для среднего квадратического отклонения a=V~D для произвольного момента
времени.
6.12. Математическое ожидание т и дисперсия D в системе
TZJrZ - b(X - сс23), X=mx + V,
где V - стационарный белый шум интенсивности v, согласно методу
нормальной аппроксимации приближенно определяются уравнениями
Tm = bmx - m[\+ab (m2 + 3D)], ТЮ = ft2v - 2DT [ 1 -f За* (m2 + ?>)].
Найти приближенные значения m и D для стационарного режима колебаний.
Пользуясь методом моментов с учетом моментов до четвертого порядка,
проверить, являются ли найденные m и D лишним решением.
6.13. Применяя метод нормальной аппроксимации, показать, что дисперсии и
ковариация переменных состояния в нелинейной системе
7'21 + 21 = 6 sgn (22 - 2Х), 22-pa22 = Y2DaV,
где V-белый шум единичной интенсивности, определяются приближенно
уравнениями
Tk 11 = 2Р*12 + 2 (1 -j- Р) *ц, Tki2 = P*22 '- (1 "Ь aT Jr Р) *12,
*22 = 2a (D - *22)" P = * [(*11 "Ь *22- 2*12) я/2] ' 2.
На йти *u, *12, *22 для стационарного режима. Пользуясь методом моментов
с учетом моментов до четвертого порядка, проверить, является ли найденная
дисперсия *ц для стационарного режима лишним решением.
440
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
6.14. Пользуясь методом нормальной аппроксимации, показать, что для
системы
TZ-{- Z - b sgn (X-Z),
X + <xX = Y~2DaV,
где V - нормальный белый шум единичной интенсивности, дисперсии и
ковариации переменных = Z2 = Z, Z3-X имеют вид
кц = 2k12, Tki2 = Tk22 - &12 + Р (ki2 - ku), k\3 - k23- ak13, k33 = 2<x
(D - k33),
Tk22 = 2k22^-2f> {k23 - ki2), Tk23 = -• (1 -^clT) k23 -)- (5 (k33 - ki3),
$=b{(k11 + k33-2k13) я/2]"1/*.
Найти стационарные значения дисперсий и ковариаций.
6.15. Показать, что для нелинейного осциллятора
Z + cp(Z, Z) + (r)0Z=V, где V - белый шум интенсивности v, дисперсии и
ковариации переменных Zi=Z, Z2 = Z определяются в соответствии с методом
нормальной аппроксимации уравнениями
ки =2&12,
&12 " k22 - (too '"T^l) ^11 - k2k\2,
к22~--- 2 (соо "Г &l) &12 2&2&22 "Ь %
где и k2 - коэффициенты статистической линеаризации функции tp(zi, z2).
