Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
+ + 6,5+vc22} + 2c4 {(m2 + a) (14+16c12+2) + 16miCi2k22 - Ik 2vc22},
c5 = - 1 920?2vc22 - 240A2vc22c2 + 40A2vc22c3 + 5c4 ((m2 + a)(c12k12-9) +
+ Tti\C^2k22 - 8, 5&2vc22) + 5c5 ((/л2 + a) (9 + 2+2) + 10m\C\2k22-
4,5&2vc22), здесь c\j - элементы матрицы С, C=K~1-
Таблица 4
Моменты Zi t
0,1 0,3 0,5 0,7 0,9
mi = ax ?>i = a2 - at a4 a6 a8 0,4823 0,0951 0,2181 0,2100 0,2640
0,4690 0,0966 0,2215 0,2439 0,3814 0,4661 0,1002 0,2369 0,2961
0,5591 0,4662 0,1039 0,2536 0,3505 0,7653 0,4675 0,1074 0,2709
0,4089 1,0115
rtii = a1 D1 = a2 - a\ a4 a6 a8 0,4823 0,0951 0,2172 0,2080 0,2554
0,4690 0,0966 0,2168 0,2383 0,2981 0,4661 0,1002 0,2302 0,2715
0,4671 0,4662 0,1039 0,2477 0,3224 0,5118 0,4675 0,1074 0,2604
0,3523 0,7843
m1 = a1 n 2 Di = a2 - ai a4 ae "8 0,4823 0,0951 0,2178 0,2093 0,2614
0,4690 0,0966 0,2194 0,2279 0,3217 0,4661 0,1002 0,2341 0,2901
0,4998 0,4662 0,1039 0,2518 0,3316 0,5152 0,4675 0,1074 0,2615
0,3658 0,8723
mi = a4 r, 2 Oi - a2 - cxi a4 ae as 0,4823 0,0939 0,2134 0,1985
0,2368 0,4690 0,0916 0,2013 0,1892 0,2320 0,4660 0,0923 0,2037
0,1977 0,2329 0,4661 0,0937 0,2091 0,2152 0,2770 0,4674 0,0954
0,2156 0,2214 0,3024
m4 = a4 Z}4 - ct2- a2 a4 ae a8 0,4823 0,0939 0,2133 0,1979 0,2349
0,4690 0,0916 0,2009 0,1880 0,2290 0,4660 0,0923 0,2030 0,1962
0,2501 0,4661 0,0937 0,2084 0,2080 0,2764 0,4674 0,0954 0,2150
0,2212 0,3037
ЗАДАЧИ
437
При желании ограничиться моментами до четвертого порядка в полученных
уравнениях надо положить сз = с4 - с5 =--¦ 0. Таким же путем получаются
уравнения в случае учета моментов до шестого или восьмого порядка.
В табл. 4 приведены результаты вычисления моментов методом
эллипсоидальной аппроксимации для тех же данных, что и в примере 23. Во
второй группе строк таблицы приведены результаты вычислений с учетом
моментов до четвертого порядка включительно, в третьей - с учетом
моментов до десятого порядка. Для сравнения в первой группе строк
приведены точные значения моментов случайной величины Z4 в зависимости от
времени t, а в четвертой и пятой группах строк - результаты вычисления
модифицированным моментно-семиинвариантным методом, предложенным в [88],
с учетом моментов до четвертого и десятого порядка соответственно.
Сравнивая табл. 1 и табл. 4, видим, что метод эллипсоидальной
аппроксимации, так же как и модифицированный моментно-семиинвариантный
метод, дает хорошую точность, почти ту же, что и моментно-
семиинвариантный метод, которым были получены результаты в табл. 1. При
этом метод эллипсоидальной аппроксимации с учетом моментов до десятого
порядка дает 9 уравнений вместо 21 при применении модифицированного мо-
ментно-семиинвариантного метода и 65 при применении моментно-семиинва-
риантного метода п. 6.5.3.
ЗАДАЧИ
6.1. Найти одномерное распределение стационарного в узком смысле
процесса в консервативной механической системе со случайными начальными
условиями
. дН • дН Ч~др' P~~~dq'
где q~[q\. ¦-QnY - вектор обобщенных координат, р = Aq = [р4.. . р"]т -
вектор обобщенных импульсов, А - обобщенная масса (постоянная), Н--
функция Гамильтона (полная энергия системы),
Н - Н (q, р) = ртД-1р/'2 + П (9),
П (<;) - потенциальная энергия системы. Показать, что при П (q) = qTCq/2
стационарные распределения координат и импульсов определяются плотностями
фi(qTCq) и ф2(рМ_1р), где ф4 и ф2--в значительной мере произвольные
функции (точнее, они обе выражаются через одну произвольную •функцию) *).
Показать, что распределения удвоенной потенциальной энергии Y1 = qTCq и
удвоенной кинетической энергии У2= ргА~1р определяются плотностями
fi (yA - Ciyi1 2>' Ф1 iyi) 1 (yi)>
/2 Ш = с2У2П~2)/2У2 (уг) 1 Ы, где с4 и с2- нормировочные постоянные. В
частном случае показательных функций ф! и ф2, ф4 (х) = ф2 (х) -- е~Х;2,
распределения удвоенной потенциальной и удвоенной кинетической энергии
представляют собой "^-распределения с п степенями свободы. Найти также
распределение полной энергии > (> , > ..) 2.
Указание. Написать уравнение (5.38) при dg1/dt = 0, ¦/ (и) = 0, найти так
же, как в примере 5.16, одномерную плотность fi(q, р) стационарного
процесса в системе (само собой разумеется, начальное распределение должно
совпадать с этим одномерным распределением) и учесть, что дифференцналь-
*) Это математический результат. Из физических соображений, а именно из
принципа аддитивности энергии при объединении нескольких независимых
систем, следует, что функции ф4 и ф2 должны быть показательными.
438
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
ные уравнения консервативной системы имеют первый интеграл (интеграл
энергии) Н (q, р).
6.2. Пусть распределение вектора начальной угловой скорости со0 = =
[co^0cOj/0coZo]T в примере 1.2 при Mx - My = Mz = 0 задано плотностью /о
(с°о) = Р (<Во/ш0)> гДе ^==diag(/;c, /у, Iг). Показать, что распределение
интеграла энергии У = шо/со0/2 определяется формулой
f{y) = 1l*c Vyp(y)i (у),
где постоянная с находится из условия нормировки. [Доказать, что для
