Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
-i 0
00 00
5 Uil2+h~1 e~Ui>'2 du1 = 2^2 + h $ tPl2+h-ie~tdt = 2Plz+hT(p/2 + h).
о о
Подставив эти выражения в (153) и учитывая, что Г (1/2) = К
я,
получим
оо о(Р -g)/2 + ft Р f р - Я | Л я(р-<?)/2
J (г/тг/)ле-(Л)/2йг/=---------------/Д?\----------------
- со Г I 2
В итоге первый интеграл (146) примет вид MwUn<? (г1" -f r\Z) =
^СЙ2*Г S^ + Л
]Г(2n)i\Kv\V fcTo
00
x ^ (vTKv 1и)п-Лф (|x + u) е-^киХ^г dv. (154)
Аналогично вычисляется второй интеграл (146): MJJnZ[<. . . ZrP ф (т]0 +
r]Z) =
1
п ГI гр
ЕА'-- -
4 1 v 1 h=0 s, = 0 Sjp = О
X
x ^ (итЛ'"1и)'1 h(tn1-\-f-1v)ri~si. . .(mp-\-fpv)rp~sP (p(\i-\-
v)e~v7Kvlvl^ dv,
(155)
где
Ab.tl Sp = CnCsr\ ... C^x
l ¦> \ ^ Si!.. .s^!
X ^ Sii! ¦ • - Sip! - --spl\.. .spp\
Sn+ . . . +Slp -s, spi + . . . +Spp-Sj,
• • •g?pp- • -fi#i ¦ • -4PP 2ft+p/USl/2+' • •+S/,/2 r (/1+P/2+S1/2+ .
..+Sp/2) X X Г (Gi + 1/2)... Г (ap + 1/2)/Г (<?! + • • • + <Jp + p/2),
434
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
fi = [fil-fiq]'gi = [gn-gi,p-q]-i-e строки матриц / и g,[/g-] = hy_1, ,а
суммы по Su, Sip, spl, - spp распространяются на все неотрицательные
целые su, . . ., slp, . . ., spl, . . ., spp, для которых суммы 5ц -j-
...-)- Spi = 2аи . . ., slp -f- . . . + spp = 2ар, а, следовательно, и
Si+.-.+Sp четные (интеграл по у равен нулю, если хотя бы одна координата
вектора у входит в интеграл в нечетной степени).
При кусочно полиномиальной аппроксимации функции ср хотя бы по одной из
переменных ии . . ., vq интеграл по этой переменной можно вычислить с
помощью неполной гамма-функции
у
у{х, у) = ^ tx~1e~tdt. (156)
о
Пример 29. Для кусочно линейной функции (ограничителя)
' - а при | < -а,
ф (?) = ¦{ ё при HI < а,
а при | > а
вычислить MwUnф (r|o-j-T)Z)-
В данном случае q - 1, vTK~1v = v2IDv, где Dv-дисперсия случайной
величины V = r\(Z-т).
Разобьем интервал интегрирования по s в формуле (154) на три части. Так
как о < -а¦-р при ц-j-o < -а и и > а - ц при \i-\-v > а, то
оо - а - |д
^ (vlIDv)n~h (р (fi + ц) e~v*t2Dv dv = -а ^ {v2jDv)n~h e~v2liDv dv-{-
- СП - 00
а-|д со
+ ^ (н + г) (v2/Dv)n~h e~v2, iDv du-|-a^ (v2/Dv)n~h e-v2l2Dv dv.
-a-ц a-|i
Для определенности предположим, что -а - ц < 0 и а - ц > 0. Для
вычисления этих интегралов сделаем замену переменных v2/Dv = 2t. Тогда
для первого интеграла при v < 0, v = -У2Dv-t, dv = -(У 2Dv/2 У t)dt, а
для третьего при v > 0, и = У2DV- t и dv = (У2Dv/2 У t)dt. Во втором
интеграле в зависимости от знака v разобьем интервал интегрирования на
две части от (-а - ц) до 0 и от 0 до (а - ц). Тогда получим
СО
^ (v2!Dv)n~h ф(ц + ф e~vV2Dvdv =
- СГ
се
=._a yD^.2n-h--4* ^n-ft-i/2 e-tdt-\-
(а + ЮЩГЩ
(a + P)2/2DZi
+ 2n"ft"1/a ^ (li-V'mJl) e-t dt +
o
(a-n)2/2Dt,
+ УЩ-2n~h~l!2 (j (n + y2Dyi)-tn-h-ll2e-tdt +
-ф-a УDv-2n~h~1^2 (j in-h~1l2e-tdt.
("-H)!/2Cs
(>.7. МНТОД ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 435
Пользуясь для вычисления интегралов неполной гамма-функцией, находим
Л
I (о*/0")"-А ф (ц-;-г)e-*'*D*dv=
- л
= 2"-*-!/*. /5;[(n + a)v(/i-ft+l/2, (а + ц)2/2?>1,) +
+ (Ц - а) у (n - h-\-1/2, (a - \iYl2Dv)\-\-Dv-2n-h- [у (я-h+ I4(a -
n)3/2?>") -
- V(n-/Н-I. (a-rM-)2/2?>j,)].
Окончательно получим
п
Mwu"q(ib+4Z) =-------------------------------- г-X СЙ-2Л-Г 1^ + Пх
я=0 V 2 у
X {2'г_/1~1/2 }/"Dv ¦ [(ix-Aa) у щ- h-j_ 1/2, (a + p)2/2?)I,) -f- (ix -
a) у (я - /i+ 1/2, (a - n)2/2?>j,)] + ?>"¦ 2"-й [у (я-й+ 1, (a-
|_i)2/2DI,)~y (я-/г+l, (a + (i)2/2D")]}.
6.7.6. Моменты вектора состояния системы. Во многих исследовательских
задачах возникает необходимость вычисления различных моментов вектора
состояния. Учитывая приближенное представление (96) одномерной плотности
/у (z; /), получаем для начальных моментов вектора Z следующую
приближенную формулу:
т
MZrZ ... Zrpp= J г[г ... zrppfl (и; 0) dz =
- 00
со д/ "
= 5 Zi1 . . . ZTpPW! (и) dz + 2 cv BS Zi ¦ ¦ • ZpPpv (") W1 (") d2,
или
2V
mz? ... zrp = m^Zi1 .. .z4 + 2 c,MwPv{U)z[;*... z;P. (157)
^ ^ v= 2 ^
В случае нормального распределения tp, (и) формула (157) дает возможность
прямого использования уже готового выражения (142) для моментов MwUnZz11
. . . Zrp.
Число уравнений для параметров одномерного распределения, к которым
приводит изложенный метод, лишь на У/2-1 больше числа уравнений метода
нормальной аппроксимации при учете моментов до У-го порядка (в этом
случае N всегда четное). Пример 30. В условиях примера 23
Z1 = - ZyZz, Zz = -aZ2 + kV
при аппроксимации /i(z; t) отрезком разложения (96) по полиномам Spv(u)
(см. формулу (123) и формулу (5) приложения 2) с учетом моментов до 10
436 ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
порядка включительно уравнения (100), (101), (116) имеют вид т-i - -OTim2
- &i2, m2 = -ага.,, кц = - 2 (т2?и + т1к12), k12 = -2 (m2 -j- a) &i2 -
r,iyk22, k22 = - 2ak22 + /<+', c2 = 4&2vc22 + c2 {(m2 + a) (6 + 8 c12+2)
+ 8/niC12+2 -3&2vc22},
c3 = - 24&2vc22 + 3c2((m2 + a) (c12+2-5) + 4,5k2vc22 +
+ ni\C\2k]2) + Зсз (6 (m2 + a) c42+2 + 0>rn.\C\2k22 - 3&2vc22),
c4 ~ 192&2vc22 + 24&2vc22c2 + 4c3 {(nz2-r-ct) (c42+2-- 7) +
