Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
+ i (pT/Cv-f vT/Cp)]./2}.
Разделив здесь действительную и мнимую части, придем к фор-
Т Т
мулам для М^ипе^ z cos vTZ и MJUne^ z sin vTZ.
Аналогично, выполнив в (145) дифференцирование и положив iX = р iv,
выведем при | г \ = 1 и | г | = 2 формулы для
MwUnZ/^+cS)zt MJUnZse^z cos vrZ, MJJnZ^z sin vTZ,
MwUnZle(-v-'t+ivT) a, MK,tynZiZ17e(uT+I'vT) z. В частности, при \- = 0или
при р = 0 получаем формулы
П
MJJne^z = 2 2п-4"г(ртАр)ге^т'п+^/2,
/=0
п
Nl JJn cos vTZ = 2 2"-zsnj(-vTKv)1 e_v'T/(v/2 cos vT/?z,
1 = 0
П
MJUn sin vTZ = 2 2"-4"г(-vTAv)'e-vT"v/2 sinvTm,
1 = 0
¦VI JU*Z&?Z =
n
= 2 2'1-г8"г(ртАр)г"1 [pTApm + (2/ + PTAp) Ap]
/ =0
430
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
MwUnZ cos vrZ =
гг
= - 2 2n~leni [vTKvm cos vrm -f (2/ - vT/Cv) /Cv sin vTw]
1 = 0
MwUnZ sin vrZ =
П
= - 2 2n~i?ni [vr/Cv/n sin vrm - (2/ - vr/Cv) /Cv cos vT/n] e~v'/<v '2. ;
= o
Если функции а (г, /), 6 (г, /) в уравнении (7) включают произвольные
нелинейные функции от линейных комбинаций компонент вектора Z, то при
составлении уравнений (100), (101),(116) приходится вычислять интегралы
вида
MJJ"Ф (т)0 + r)Z), MJJnZr?. . .Zj/Tp (т)0 + r)Z). (146)
Вычислим сначала первый из интегралов (146).
Введем случайный ^-мерный вектор V = r\](Z - tn) с нулевым математическим
ожиданием и ковариационной матрицей Kv --- р/Ср г. С помощью линейного
преобразования приведем случайный вектор Z к блочному вектору [V/TFT]T, F
= ?(Z - т) и выберем матрицу t, так, чтобы вектор Y был не коррелирован с
У, а его компоненты были некоррелированными случайными величинами с
единичными дисперсиями. Это всегда возможно. Действительно, введем вектор
Z' = [Z г - mq+1. ¦ .Zp-тру. Положим Y' = Z' + ffl и выберем матрицу |
так, чтобы векторы Y' и V были некоррелированными. Для этого приравняем
нулю их взаимную ковариационную матрицу:
MY'VT = MZ'V* + Ш УУТ = MZ'Vт + IKV = 0.
Отсюда 5 = MZ'V^Kv1 (матрица Kv не может быть вырожденной, так как в
противном случае координаты вектора V были бы линейно зависимыми). После
этого приведем вектор Y' к вектору Y с некоррелированными компонентами,
дисперсии которых равны единице. Для этого достаточно найти какое-либо
каноническое разложение вектора Y' {ТВ, § 3.4). В результате этих
преобразований ковариационная матрица составного вектора ]УТ Уг]т будет
блочнодиагональной:
[?'!]
и вычисляемый интеграл примет вид
СО 00
MUnф (т)о-f T]Z) = 5 S Ф (в + и) (vTKyv + уТу)п х
- 00 - СО
tl 20
dvdy - r 1_-=- V Снп С ф(ц + и)х
Y(2я)Я|/С"| J '
ft= О - со
CD
y.{vTKv1v)n-he-^Kvlvi4v ^ (yTy)he-yTyi*dy, (147)
§6.7. МЕТОД ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
431
где (т = г|0 -j- цт. Интегралы по у в этой формуле могут быть вычислены.
Для этого сделаем замену переменных yl = alYu1, ...
• • • > Ур
) Yult
г ^i, где р = p - q. При этом учтем, что
У1-
у1-
--уТУ = и 1 *)
(148)
и, следовательно, а\ ар = 1. Чтобы переписать интеграл
(147) в переменных ult аг, ..., ар, найдем якобиан преобразования:
д (Уь
Ур)
д (и, аь ..., ap_j)
2 /7г
2 Y"
"р-1
dy-t/du дуг/да.! . . . dyt/ddp-i
ду2/ди дуг/да,! . . . дуз/д a.p-i =
дур/да ду р/да,! ¦ ¦ . дур/да.р-1
V~u 0 0
0 Yu 0
2 Уй
"р
2 ^ й
К и (- 2аг) 2к2)
V и (- 2ctp-i)
2ап
2а"
(149)
Вынесем из первого столбца 1/(2 V и), а из каждого из оставшихся (р-1)
столбцов Yu. Из последней строки вынесем ар1. Тогда якобиан (149)
запишется в виде
д (yi
У р)
и'
Р/2-1
(5 (и, аь ..., ap_i)
2ап
"1
а2
а.
О
О
ap-i 2|
ар - ai - а2
лр-1
(150)
Для вычисления определителя (150) умножим первую строку на и сложим с
последней, вторую строку на а2 и сложим с последней,... . Проделав это
преобразование и вычислив получившийся простейший определитель, находим
д(уи ур)
• Р/2-1
(-1)
Р+1
д(и, alt ..., ap_i)
2a"
(151)
*) Через Mi обозначена новая переменная интегрирования, её не следует
путать с ранее используемым обозначением квадратичной формы и = (г - т)ГХ
ХК~г (г - т).
432
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Поскольку величина ар = ± У1 - к2- • • • -а,'р_1 может быть как
положительной, так и отрицательной в соответствии со знаком переменной
ур, разобьем область интегрирования в интеграле по у (147) на область
положительных ур и область отрицательных ур. Так как подынтегральная
функция - четная функция ур, то интегралы по областям отрицательных и
положительных ур равны, и поэтому
Вычислим внутренний интеграл по ар_Сделаем замену перемен ных ар_! = (ЗК
1 - а2-. . . -ар_2. Тогда будем иметь
Для вычисления интеграла по ар_3 положим ар_3 =
СО
СО
ft + P/2 -1
е~ u"''2 du1 X
У 1-а\ К"1 ""I
-У i-4 -V i-4
.. - а:
'р-2
Y1 _а*_ _ _ _ _а2_1 = ^ j . .. _аар_2К 1 - Р2,
daР-1 = У 1-а2-. . . ар_2dP,
= я.
После этого получим
РК 1-а2- .. . - а2_4:
S 6.7. МЕТОД ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
433
Продолжая таким образом, придем к формуле 00
5 (г/тг/)ле_(уТу)/2ф =
- 00
00 1 1
= 2д 5 Ui/2+'l'1e-u'/2dM1 $ (1-Р2)(р-3)/2Ф--- \ (l-p2)1/2^. (153)
о -1 -1
Но
j (1 - РТ rip = 2 J (1 - P2)m rfp = -(г (1 + з/2)/2-"
