Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Ра + 1, 1 ^ (&"Т 1)Р*1" Р/г + 1, ? + 1 ~ (^ = 2, 3, ...). (130)
Имея в виду, что pu = l, P2i = 2, |32а = 1, P3i = 3!. Рзз = 1. находим из
(130)
P*i = M. Р** = 1- (131)
Рекуррентные формулы (129) - (131), определяют все
коэффициенты pw в формуле (128). Подставив выражение (128)
при
k - n-т в (127) и имея в виду, что
(-р/2)(-р/2-1) ... (-p/2-m+l) = (-l)"Iirm(+g2> , (132)
426
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
получаем
дпу (a, ik) атт ( v' / т \тпт Г (rn + p/2) w
5"n ' л_гргх
4
X 2 (-1)п_я_гР"-и,
(133)
Для преобразования (133) изменяем порядок суммирования:
д"Ф(", а) , i ч" "атт ! Г (лг+ р/2) да" ' ; | Г (р/2)
Положив
а-р1г-п п-1
X(-^y^-p,2-l-n L сУРв-".."ГГ(р/2)/2)}е"р/сь-
/=1
т-0
епо = Г (п-{- р12)/Г {р/2),
(134)
ёш = L сгр"-".,
т =0
получим при а = 1
Г (т-гР/2) Г (р/2)
(/ = 1, ..., п), (135)
дпу (а, /Я,) дап
а= 1
H)"! ел/(-д)'ег'
(136)
г =о
Далее, руководствуясь (125), мы должны выполнить дифференцирование по
(Л). Но вместо дифференцирования по (t'A,) разложим правую часть формулы
(136) в ряд Маклорена. Тогда значение производной
- 0П + П+ . . • + IX) -
da nd(ik1)ri ... д (ikp) ГР _ а= 1
при А, = 0 будет равно коэффициенту при {ik 1)ri ... {ikp)rP, умноженному
на г У ... гр\.
Напомним, что v = кТКк/2. Следовательно,
{-v) = {ikyKm2 = 2-1 2 ^(%)(a,),
/.<7 = 1
( V)l = 2 1 2 ^/i<7i ••• ^/г<7г (l'^/i) (^ffi)
• • ' (1'^/г) (1'^<7г)'
/<•..........iv <7г=1
(137)
Приведя подобные члены, находим
(- у)г = 2~г 2 ¦ ¦ ¦ {iK)hp2kM<-¦ -к/л. \h\ = h1+ ... +hp.
\ h\ = 2l
(138)
§6.7. МЕТОД ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
427
В формуле (138) вторая сумма распространена на все различные перестановки
21 индексов ]\, qlt . . ., jlt q[t из которых /гх равны 1, h2 равны 2, .
. ., hp равны р. Но согласно формуле (94)
и 2Ч' ,.ю
2-, ' ' ' hqi " hp. ... hp\ hP'
где ph,.hp-центральные моменты нормального распределения
w1(xTCx). Следовательно,
У XI (139)
| ft [ - 2/ 1 P
В формуле (136) также присутствует величина eilTm~v. Она представляет
собой характеристическую функцию нормально распределенного случайного
вектора (ТВ, пример 5.32)
giXTm-v __ gu
Разложив ее в ряд Маклорена, получим (ТВ, п. 4.5.3)
00 Сxw
ел-,= у J' - ¦ -;я iai)St.,, {upyPt (140)
Si Sp= О Р
W
где aSl Sp-начальные моменты нормального распределения
w-l (хгСх).
Теперь перемножим формулы (139) и (140) почленно:
оо i\uw aw
- v V (/>.,)-¦•-¦•.
\h\ = 2l s,...s^ = 0
l\\PS h h r h
...(ikp)bp+*p= у у . , '••у; тгт.х
v p> jL*t hp. ... hp\ (г!-hp)\ ... (гp - hp)\
| ft | = 21 | r | > 21 r r
x(iK)r>.. .(iKPYp. (141)
Вторая сумма распространена на все гх, ..., гр, сумма которых не меньше
21, так как rp^hp, вследствие чего
|r|>|/i| = 2/.
Подставив выражение (141) в (136), будем иметь
[дпср(сс, а)/дап]а=1 =
- ( О" У гт У У hp _
l'K Hfl-Hi, ..........
. hp\(r1-h1)\...(rp-hp)\
1=0 |h| = 2/|r|>2/ P r r
X
x (iXY* ¦ ¦ ¦ (iK)rP ¦
428
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Изменив порядок суммирования по г и /, получим [дпср(а, гЯ)/дап]а=1 =
м min (ti, [| г |/2])
=(-О" X (гЯ1 У'---(арУр X Ле^х
fit • • • г гр - 0 1 = 0
4W nw
hp Г\ - hi, . . rp - hp
X X
I л 1 = 2/
/ц!.. ,hp\ (r1 - h1)\...(rp - hp)\'
Отсюда видно, что
- дп + Г1 + ---+'>ф(к, ik) дап д (i\i)ri. ¦ .д (ikp)rf
<х= 1, ?. = 0
min (/г, [| г 1/2])
= (-1 X IK, X
/=о
пш
r'/tj, ...,hp^r1-hl rp-hp
, h^2Z All... V (Г!-А,)!... (гя -Ая)! •
В итоге формула (125) принимает вид MJJ*Zb...Z'p =
min (ft, [| г |/2])
= 2- 2 IK, 2 Chr\...Ch/pyl hpal_hl Гр_Лр. (142)
/ = 0 \h\~2l
Для вычисления центральных и начальных моментов нормального распределения
р(r) и а(r) удобны рекуррентные формулы
Н-r = 2 rji^ -ku)L(tm) , (143)
S= 1
a? = m1a(tm)_ei + 2 (144)
S - 1
где r-векторный индекс г = \r1.. .гру, a es-//-мерный вектор, все
компоненты которого равны 0, кроме s-й, равной 1. Для вывода этих формул
достаточно применить формулу (39) для производной произведения двух
функций к
(g-1/Лл gi /)) д in (g-aTm gi
и
^(Я; ^дЫ^ДЯ; 1)/д(И0
и учесть, что семиинварианты первого и второго порядков совпадают с
компонентами вектора математического ожидания т и элементами
ковариационной матрицы К, а все семиинварианты выше второго порядка
нормально распределенной случайной величины равны нулю.
§6.7. МЕТОД ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
429
Теперь вычислим выражение MJJnZrp. . .Zrpve°?z. Для этого воспользуемся
вышеизложенным методом. Очевидно, что
+ X
M"..UnZ[l. . . 7rPe"?z = 1 Г ипг'г _ у реатг-иц dz_
р V (2л )р ]Kl J Р
M,UnZi. . . Zr/eaJz = (-2)"
Из приведенных в начале пункта формул для функции ср (a, iX) и ее н-й
производной видно, что
дП + Г1+...+Гр ф(а, ^
5 (!Xi)r 1.. .д (iXp)rf'
Пользуясь формулой (136), находим MJJnZ[K . .Z'p^z =
= 2"----dr^--- + rP-у / -Я.т /сяу el7ym-?.TM/2. (145)
Заметив, что все выведенные формулы справедливы и при комплексных Хг, X
получим из (145) при /X = p-p/v, | г | = О
П
MnUne^z = 2 4л 2"~г [ртАр- vT/(v + i=o
-f i (pTiCv-f vT/Cp)]1 exp {(pT + i'vT) tn + [p,TAp - vTKv +
