Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
полиномов pv (и) и qv (и) в виде
mw {pv(U)<r*m=K-
Принимая во внимание выражение (109) для плотности случайной величины U,
перепишем условие биортонормальности полиномов в форме
00
a ^pv(")^(")wp/2-1^1(")d" = 5v|V (120)
о
Для приложений большое значение имеет случай, когда за распределение w1
(и) выбирается нормальное распределение
юДи) = w^x'Cx) = у==== ехр {-хтСх/2}. (121)
В этом случае, согласно (ПО), а"1 = Г (р/2)/У n?\ К | и условие
биортонормальности (120) принимает вид 00
У'*Г(р/2) I Mu)Mu)"p/2-le~u/2d" = 6vn- (122)
о
Таким образом, задача сводится к нахождению биортонормальной системы
полиномов, для которой весом служит ^-распределение с р степенями свободы
(приложение 2). Для этого случая можно принять во всех предыдущих
формулах
Pv(u) = (p + 2(v-2)H (2v)TT Spv ^' ^v(u) = Spv(u), (123)
где Spv(u) (v = 0, 1, 2, ...) - полиномы, определяемые формулой (5)
приложения 2.
Любая плотность f(u), и^0, удовлетворяющая условию 00
^ и~р/4+1 f^eu/if2 (и) du < оо,
о
может быть представлена ортогональным разложением (приложение 2)
f(u)= J uP/2-ie-u/2 |l + V (Д-2)!! Су Spy (и) \
П > 2р1*Г(р/2) \ 7^2 (P + 2v-2)!!(2v)!!J*
где
00
cv= 5 /(") Spv(u) du.
о
Отсюда следует, что любая плотность вероятности /?-мерного
§6.7. МЕТОД ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
423
случайного вектора X = Z- т, зависящая только от квадратичной формы и =
хТСх, может быть представлена разложением
Если принять С = /С '1, где К - ковариационная матрица случайного вектора
Z, то Cj = 0.
Если плотность /(г) случайного вектора Z произвольным образом зависит от
координат вектора 2, то ее, конечно, нельзя представить точно разложением
по полиномам Spv(u). Речь может идти только о приближенном представлениии
f (z) конечным отрезком разложения.
При применении разложения f1(z\ t) по полиномам Spv(u) величины ук0, уул,
определяемые формулами (111) и (112) легко вычисляются. Для этого
достаточно выполнить интегрирование по частям в (111), (Н2) и учесть
ортогональность полинома qK(u) всем степеням их при Я<х. В результате
получим
Yxv = 0 приЧ><х-1, Ук. к-1 = (Р + 2х-2)х//о, укк = х//?. (124)
6.7.5. Вычисление типовых интегралов в уравнениях для параметров
распределения. В приложениях функции а (г, /) и b(z, t) в уравнении (7)
часто содержат полиномы относительно г и произведения полиномов на
тригонометрические и показательные функции. Поэтому при составлении
уравнений (100), (101), (116) приходится вычислять выражения вида Мш
{UnZ[l . . . Zrf} и Mw {UnZr11 . . . Zr/ eiXTz}. Рассмотрим подробнее
вычисление каждого из них в случае нормального распределения w1(u).
Введем функцию переменных a, iXly . . ., iXp:
f((zT - m') С (z - m)) = -exp {- (zT -mT) С (z - tn)/2} x
где в силу (97)
00
cv = \ f((zT - mT)C(z-m))Spv((zT - mT)C(z - m))dz =
0
CO
tp(a, iX)
V(2j1)P \K\ J
^ eaT2-ry.xTcx/2^z==
424
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Тогда будем иметь
дп+г^--- + гг<?(*,Щ _ (-2)-" f #jB," угРрагг_аи/2Иу
да^д^У1 ... d(iXp)rP Уг(Ъп)р\К\ J 1 ' р
г - СО
Отсюда видно, что
00
Mjj*zry . .. Zr/ = -Гп=ш f . . . 2?e-*Tc*/" dz =
. (125)
a=I, Я=0
V(2я)P \K |
- 00
= (-2)" Г дП+Г1+"' + Гр<Г(а> &)
L dand (1'Я1)/'1 ... d(iXp)rP
Для вычисления функции <p (a, /Я,) сделаем замену переменных zk =
mkJra~1i2yk. Тогда получим
т (r)
"-Р/2.1Я m С
ф(а, /Я.) = -- " 1,2у-у су/2 du.
Y<?n)p\K\ J - 00
Заметим, что
go
-> = t рата-1^у-утСу/2с1и
V{2n)P\K\ J
представляет собой значение характеристической функции нормально
распределенного случайного вектора Y с нулевым математическим ожиданием и
ковариационной матрицей К = С~1 при значении аргумента а_1/2Я. Пользуясь
известной формулой для характеристической функции нормального
распределения {ТВ, пример 5.32), находим
ср (а, щ - a~p/2ei}-Tm~kTK}-l2cl. (126)
Положив для краткости ЯтЛ(Я/2 = ц, перепишем (126) в виде Ф (а, /Я) = а-
Р/2^'"-"/01.
Дифференцирование функции ф (а, /Я) по а будем проводить по правилу
дифференцирования произведения двух функций:
(цц)<л>= 2 С^и
т* О
В соответствии с ним
П
fc((p (и, й) - д1~Ятт Qm ^ - р/2ут) ^g-v/ayn-m) .
т= О
= eaTm 2 (%(-р/2) (-р/2-1)...
т=О
. . .(- р/2 - т + \ ) а-р/2~т {е-У1аУп~т). (127)
§ 6.7. МЕТОД ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 425
Теперь будем вычислять производные второго сомножителя: (g-p/a)' =
va~2e~v!a,
(e~v'a)" = (-2irac~3 -\- u2a-4) e~v<a,
(e~vla)'" = (3!ua~4- 6v2a~5 ф- ига~ь) e~v'a.
Постараемся выявить общую закономерность. Для этого положим
k
= 2 (-l)k-lfiklvla-k-le-vla. (128)
i = i
Тогда, продифференцировав еще раз, будем иметь
к
(g-u/a)(ft + l> _ 2 (-\)k-l + 1(k + l)f>klvla.-k-l-1e-via +
1 = 1
k
+ 2 (-l)*-lP*|Wl+1a-*-l-V-0/e.
i = i
Заменив во второй сумме /+1 на I, получим
к
(е-"/в)(*+1)= 2 (-l)k-l+1(k + l)PHv!a-k-l-1e-vla +
/ в 1
ft+I
+ 2 (-1 Y~l+1$k t-iVl
1 = 2
Но в силу (128)
*+1
(e-"/a)(ft+i) _ 2(-l)*+1-'P*+i, lvla~l'-1-le-v/a.
Сравнив коэффициенты при (/ = 1, ..., k+ 1), получим
рекуррентные формулы
P*+i,, = (* + /)P*i + P*.,-i (/ = 2,----й), (129)
