Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
В случае различных индексов аналогичными рассуждениями приходим к формуле
дС
dkr
С
го 0 0 on
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
с.
или, в скалярной форме,
dctj
Следовательно,
dq (и)
dkr
Csfirj)'
dkr
dq*(u)
dkrs
' = - ?*(") X, XiXjCricrJ = - q'.A (ы) i X XiCri
i, j = 1 Vt = I
= - q'y.{u){Cx)},
P
¦ = -<7x(") X XiXj(cricsf + cs!crj) =
i, /=1
p p
(106)
-2a; (u) [ 2 xicri 2 xi
jCsJ I:
-2 qK(u)(Cx)r(Cx)s, (107)
где (Cx)k - k-я координата вектора Cx.
Таким образом, для вычисления третьего слагаемого в уравнении (104)
необходимо найти математическое ожидание
N
Mq'K (U) СХХТС = M^q'y (U) СХХТС + 2 cvMwqy{U) pv(U) СХХ^С.
V = 2
Здесь Mw означает математическое ожидание при плотности w1(u). Очевидно,
что нахождение этого математического ожидания сводится к вычислению
математических ожиданий вида Mw{UkCXX!C), так как q'y,(u) и pv(u) -
полиномы переменной и. Выполнив в интеграле, выражающем Ма., замену
переменных у = С1/2х, запишем
Mw {UkCXXTC} = Mw {VC^YY^C^} = CH*MW {UkYYT} Cx-.
Вычислим сначала диагональные элементы матрицы MJJkYYl. Так как
распределение случайного вектора Y = Cll2X обладает шаровой симметрией,
то MwiIkYl = . . . = MwUkY2p. Поэтому положим Mw [UkY]} = а.
Просуммировав по i и принимая во внимание,
р
что U= 2 Y] = YTY, находим Mw {UkYrY} = MwUk+1 = ра. Что
i = 1
" 6.7. МЕТОД ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
419
касается недиагональных элементов матрицы Mw {UkYYT}, то они оказываются
нулевыми по той же причине, что и элементы матрицы Mwq^{Z). В итоге
получаем C1l2MwUkYYTC= = С1'2 (MwUk+'1/p) icm = (MwUk+1/p) Ci/2/C1/2 =
(MuUk+1/p) С. Следовательно,
MMkCXXIC = (MwUk+1/p) с.
Таким образом,
А
Mq'y. (U)CXX'C = ^M.e{q'K(U)UC}^ Mw{q'x(U) pv(U)UC}.
(108)
Для вычисления математических ожиданий в (108) достаточно
знать плотность величины U. Она выражается формулой (ТВ,
пример 5.10)
Ф (и) = аир^~1 w1 (и), (109)
где а - нормирующий множитель,
00
a~1=<\j up/2~1w1(u)du. (110)
о
На основании (109)
СО
(U) U = q'n (и) ир>2 wx (и) du, о
со
Mwq'K (U) pv (U) U = a\j q* (и) pv (и) ир/2 w1 (и) du. о
Подставив эти выражения в (108), будем иметь
/ со
Mq'K (U) СХХТС = < - [ q'K(u) up!iwl (и) du + lPS
N г )
+ S. Cv7j Ч'Ли) Pv(u)upl*Wi(u)du ^ С.
v = 2 0 J
Для удобства введем обозначения
00
7и° = -^ i\jq'K(u)uPI'2w1(u)du, (111)
о
оо
Yxv = j§ q'K (u) Pv (и) up!2w1 (u) du. (112)
420
ГЛ. 6 НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ Е СИСТЕМЫ
Заметим, что вследствие ортогональности pv (и) ко всем функциям ик при А,
< v величина yKV обращается в нуль при v > х *). Поэтому
к \
Mq'x (U) СХХТС = I ух0 + 2 cvYxv ! С.
V v-2
И, наконец, на основании (106) и (107) получаем
М^(П) = -(Тхо+ 2 cvYkv)C.
v-2
(113)
После всех проведенных преобразований уравнение (104) принимает вид
1АТ (Z- ill) {
N
1+2 CvPv (и) v = 2
w^dz - i уко+ 2 cvYXV ' tr [СК].
\ v=2
Положив
со
tp?(m, К, t)= j +^(т%л:сr+) [ftTa(z, /) +
- ОО
-fx(b(z, /)та; /)]е<яТ(2-т)|> = () w1(u)dz, (114)
4>xv(m, К, t)= J {py-ijdk С 1ж) [iVa(z> 0 +
- оо
+ %(b(z, t)x A; t)\ea^z-mA pv(u)w1(u)dz (115)
J K~ 0
и подставив выражение (101) для К, окончательно получим
N /'' к \
ГК = Ц)°х (т, К, t)X 2 CvTxv (m,K,t) - [ ух0 + 2 <VYKV ) х
v=2 \ v=2 j
f JV \
x s tr [Сф2 (m, K, /)] + 2 CV tr [Сф-п, (m, к, 0] 1 (x = 2, ..., N).
(116)
I v = 2 )
Уравнения (100), (101), (116) при начальных условиях
m(t0) = m0, К (t0) = Ко, ск(/0) = с(r) (и = 2, . . ., N) (117
*) Величина uZ может быть выражена как линейная комбинация полиномов
q0{u), qi(u), q^(u).
§ 6.7. МЕТОД ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 42J
определяют т, К, с2, . . ¦, сх как функции времени. Для нахождения
величин с? следует аппроксимировать плотность начального значения Z0
вектора состояния системы формулой (96).
6.7.3. Вычисление подынтегральных функций в уравнениях.
При аппроксимации (96) плотности /у (г; t) производные полинома qK (и) в
формуле (75) выражаются через производные полинома qK (и) по и и первые и
вторые производные квадратичной формы u = (zr- mr)C(z-т) по переменным г
1, ...,zp.
Приведем конкретную формулу для случая нормального белого шума V (t),
представляющего собой слабую среднюю квадратическую производную
винеровского процесса W (/). В этом случае формула (76) дает
{q* {шСш) №!а(г' *) + X(&to t)Jl; /)]^ти-<")|
Р Р
die,
где osq(z, t) - элементы матрицы o(z, t) = b(z, t)v(t)b(z, t)'c. В нашем
случае
ддк(и) dqK (и) ди
dzs ди дгл 1
р р
= to - ml) 21 СЧ (zJ - mJ) + 2Я* (") crs-
s r (=1 7=1
Подставив эти выражения в (118), получаем (шсш) 0Н-1(6Ц, 1Г>,
р р
= <7х(и) 2 2аДг, 0 2 csJ{Zj - ту-) +
S = 1 j = 1
+ 2-И oi4?;(u)Xcr<to-/n,-)Xc"to-/п/) + 29и(и)с" в
S, Л= 1 \ (=1 j = 1 7
или, в матричной форме,
(тжстж) t^to 0 + x(&to от*; O]e'AT(z-m)}A=0 =
= (?; ("){2a(z, ^)TC(z -m) + tr [Со (z, /)]}+
4- 2(7" (u) (zT-mT) Co (z, ^) С (z -m). (119)
422
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
6.7.4. Разложение одномерной плотности по полиномам, ортогональным по
отношению к ^-распределению. Представим условие биортонормальности
