Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
сс
^ pv(u)qll(u)w1(u)dz = 8vil, и = (zT - mT) С (z - т) = хсСх. (95)
- х
Примером такой биортонормальной системы полиномов может служить система
полиномов, для которой весом служит у-рас-пределение (приложение 2).
Аппроксимируя одномерную плотность )\ (z; /) отрезком разложения по
полиномам рх(и), будем иметь
A (z; /)"/]("; 0) = w1(u)
1 + 2 CvPv (и)
v = 2
(96)
*) Ci = 0 в силу того, что т и К - математическое ожидание и
ковариационная матрица вектора состояния Z. Действительно, в этом случае
формула (97) дает
00 СС 00
с1= 5 ^ ^z; ^)'?i(u)rfz= ^ w1(u.)ql(u)dz= ^ ЕД (и) Ра (и) ql (u)dz^ О
_ сс - оо - сс
вследствие (95).
§6.7. МЕТОД ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 415
где 0 - вектор, координатами которого служат компоненты вектора
математического ожидания т вектора состояния Z, элементы его
ковариационной матрицы К и коэффициенты с.,, . . ., cN, Wi(u) - некоторая
плотность, зависящая только от квадратичной формы и, а коэффициенты cv,
согласно (2.38) и (2.40), определяются формулой
х
Су= 5 0 Qv (и) dz = Mqv (U) =
- 00
= [qv((d't/id), - mI)C(d/idX - m))g1().-, /)]^=0. (97)
6.7.2. Уравнения для параметров распределения. Чтобы вывести
уравнения для математического ожидания и ковариационной матрицы
случайного вектора Z, найдем математические ожидания в формулах (8) и
(13) при принятой аппроксимации (96) одномерной плотности:
т =
1 + 2 cvPv (и)
V-2
dz, (98)
1 -f 2 cvPv (и)
V- 2
dz.
(99)
^ a(z, t) /'(и; Q)dz= ^ a(z, t)w±(u)
- 00 - 00
CO
К = ^ [a(z, t) (zT - mT) + (z - tn) a(z, /)T +
- 00
00
+ b(z, t)v(t)b{z, ty\fl(u, 0)dz = 5 [a{z, t)(zT - mT)-f
- x
+ (z - tn) ci (z, ty + b(z, t)v(t)b(z, ty}w1(u)
Вводя обозначения, аналогичные (64) -(67),
00
Фт (т, К, 0 = $ а {z, t) (и) dz,
- 00
со
Фlv(m, К, 0= $ a(z, t) pv(u)w1{u)dz,
- 00 со
Ф2(т, К, 0=5 ta(z> 0(zT - mT) -r (z - m)a(z, /)т +
- CD
4-b(z, t) v (t) b (z, ty]w1{u)dz,
CD
4>2v{m, K, t)= 5 [a(z, /)(zT - mT)-f (z - m)a(z, ty +
- X
-i-b(z, t)v(t)b(z, ty] pv(u)w1{u) dz,
416
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
представим (98) и (99) в виде
N
т = cpi (ту К, t)+ 2 cxq'\v(m, К, 0*
v - 2*
;V
А = Ф2(т, /С, /) + 2 cv', ,v(/", /С, О- (101)
Для получения уравнений для коэффициентов разложения с.л воспользуемся
формулой (97):
Су. = \Як ((d'/idl - т1) С (д/idl - т)) .gy (Я; ()]>.=0¦ (102)
Дифференцируя (102) по времени i и учитывая, что полином qK(и) зависит от
математического ожидания m и ковариационной матрицы /С вектора Z, которые
являются функциями времени, находим
= [<7* ((dyidl - tn1) С (d/idl -т)) 3gt (Д i)/dl]k=0 А
-f [gx ((dT/idl - mT) С {d/idl - т)У gy (а; /)]я=о т -f -У tr {[^и
((<ЗгД<ЗЯ - тг) С (d/idl -т)) gt (/.; ?)К=о <'t}, (ЮЗ)
где с/ф(и) - матрица-столбец производных полинома .у (//)
= <7И ((гт - т1) С (г - tn)) по компонентам вектора т, q$ (и) -
квадратная матрица производных полинома у* (и) по элементам матрицы ХФ
Подставив в (103) выражение для dgy (Д t)/dt из (31), заменив плотность
f1(z; t) аппроксимирующим ее отрезком ортогонального разложения (96) и
имея в виду, что, согласно (97),
[q%((dT/idl - mr) С (d/idl - т)) g1 (Д 7)]л= о = (U),
[q$((dT/idl - mT) С (d/idl - т)) gx (Д t)]x=0 = Mq% (U),
получим
00
Си= f \q-JK~C^)[ilT a(z, t) + x(b(z, tyi; 0] елГ(г_т)|А,=п x
X
N
v = 2
wx (u) dz-\-Mq% (Uy m + tr {Mq$(U) K} *). (104)
Все интегралы в (98), (99), (104) представляют собой р-кратные интегралы
по компонентам вектора г.
В нашем случае dq* (и)/dm = q'K (и) du/dm. А так как
р
"= 2 cij(zl - mi)(Zj - mj), i. j= '
*) Перенос -т из аргумента полинома в аргумент показательной функции
возможен в силу сказанного на с. 401.
§6.7. МЕТОД ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
417
ТО
ди
дтг
Отсюда видно, что вектор ди/дт выражается формулой du/dm = -2C(z--m) = -
2Сх, x = z-m.
Следовательно, при принятой аппроксимации распределения вектора Z
СО
Mq(tm) (U) = М {-2п'к (U) СХ} = -2 J q'K (и) Cxf\(и; 0) dx.
- СВ
Вводя новую векторную переменную у = С1/2х*) и заметив, что и = х!Сх =
хтС1/2С1/2х = уТу, получаем
сс
Mq(tm) (U) = -2 ) q'y.{yy)Cl!'2yf\{yy, 6) | C|_1/3dy = 0, (105)
поскольку подынтегральная функция нечетна относительно каждой нз
координат вектора у, а интеграл от нечетной функции в симметричных
пределах всегда равен нулю. В итоге второе слагаемое в (104) обращается в
нуль.
Рассуждая аналогично, находим
дду (и) dkrs
, , , du , , , ,r dC
Для вычисления производных элементов матрицы С по элементам матрицы К
продифференцируем соотношение КС = I по элементу матрицы К. Рассмотрим
отдельно случаи одинаковых и различных индексов элемента матрицы К. В
случае одинаковых индексов
W,7{КС)-
Отсюда
^г-с+к-^-=0.
О/iff okff
к
dC
дК
дкг
дкг
С,
дС
дкг
-о. .0. .0-
0. .1. .0 rC,
.0. .0. ,0_
*) Под Cft, как всегда, понимается Cft = S diag (X.*, kp)ST, где S -
ортогональная матрица, приводящая С к диагональной формеС = 5 diag
(Xi,... Xp)S\ k?R.
418
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
или, в скалярной форме,
дси1дкгг = - сысг].
