Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
этих подхода позволяют использовать любую из аппроксимаций распределений
§ 6.4 - 6.6 и записать соответствующие уравнения (32), (42), (53), (55),
(59), (60), (68), (69), (72),
(80), (83) для моментов, семиинвариантов и коэффициентов
ортогональных разложений, от которых зависит аппроксимирующая функция Л
(г; 0) или (т,. ..., гп\ 0"). Если применяется метод ортогональных
разложений, в частности, метод квазимоментов, то естественно пренебречь
всеми членами разложений, содержащими коэффициенты cv, cv, Хп с более чем
одной отличной от нуля компонентой векторов v, [vj...v?]T.
Пример 27. Для системы примеров 15 и 18,
Z = -Z3 + ZV, изложенный метод при применении формулы (61) дает РхДД, t-
г) = |х21 (ti, t2) - Q,
PisVi, t2) = 3D (t-г) К (Д, (2), ц2г(Д, t2)=D(t1)D(t2)-}-2KHt1, /2).
Цз1 0\, t2) = 3D (t-г) К (ti, t2),
Ц111 (V, t2, /3) = 0,
Ц112 (V> V, t3)-D (t3) К (ti, t2)-l-2K(ti, t2)K(t2> V)>
Ц121 (V, V, t3) - D (t2) К (ti, t3)-{-2K(ti, t2)K(t2, /3),
V, ts) = D (ti) К (t2, 13)-j-2K (tx, t2)K(ti, t3),
Ц1111 Bi, t2, /3, ti) - K, (ti, t2) К (t2, ti) -j- К (ti, t3) К (t2,
ti) 4~ T (*i> ti) К (t2, t3).
Такой же результат дает формула (94), так как семиинварианты третьего и
четвертого порядка равны нулю для нормального распределения. Расхождение
между (61) и (94) появляется только при N > 4.
"6.6. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ 413
Подставляя полученные выражения fJ-12 (^1. h) и pi3(fi, t2) в уравнение
примера 18 для ковариационной функции, получаем
дКръ f2)/df2 = -3 [m2 {t2) + D (f2)]К (Ч, t2), t2>tv
После интегрирования этого приближенного уравнения с начальным условием К
((и ti)~ D {t\), можно найти все смешанные моменты четвертого порядка по
вышеприведенным формулам. Тогда все конечномерные распределения процесса
Z (t) определятся так же, как в примерах 15 и 18.
Такое же уравнение для ковариационной функции дает метод квазимоментов,
если мы положим в формулах (I) и (II) примера 18 cv = 0, если больше, чем
одна из компонент вектора v отлична от нуля.
Пример 28. Для системы примера 17 формулы (61) и (94) дают
Pl2 = Р21 - 0, 1113 = 3^12^22,
[122 = ^11^22 4 2^12, (J.31 = 3^11^12"
а уравнения примера 17 для моментов одномерного распределения приводятся
к виду
т 1 = -т^т2 - k12, т2 = - ат2,
&Ц ------2 (ОТ2^11 " ^1^12),
^12 = (OT2 + OI) k±2 -¦ tTl\k22,
k22 = -2ak22 4- k2v,
(130 = -3 (отгДзо ~г 2йц/г12),
Роз = -Зар0з>
P4o = -4 (З&12Р30 -f OT2P40 Зт+п^щ).
P04 = - 4apo4 + 6k'~vk22.
Приравнивая нулю Ci2, c2i, Ci3, c22, c3i в методе квазимоментов, получаем
вышеприведенные уравнения для mlt т2, /;ц, k12, k22, а уравнения для р30,
р03, р40 и р04 заменяются уравнениями
Гзо = -3 (2&1]ф124- т2сзп),
Гоз = -Зсссоз,
С40 -- -4 (Зй12с30 + т2с40,, с04 = -4ac0i.
Что касается многомерных распределений, то все приведенные аппроксимации
дают уравнения
дКц (ti, t2)/dt2 = -tn2(t2) t2)--mi(t2) K12(ti, t2),
d/Ci2 (f4, 12)/dt2 = -oc/(i2 (4, 12)t
<?/C2i (4, t2)jdt2 - - m2 (t2) K2i (t\, 4) - tri\(t2) /C22 (4> t2)>
dK22(ti, t2)Jdt2 - -cc/C22 (4> 4)> 4 > 4
'
Для ковариационной функции процесса Z (f) = [Zj (4) Z (4)]т- Интегрируя
сначала уравнения для моментов или квазимоментов одномерного
распределения, а затем уравнения для ковариационных функций с начальными
УСЛОВИЯМИ /Сц (fi, 4) = ?ll(4)> /С12 (f 1" f 1) == /С21 (f 1" 4)=+2 (4)>
/С22 (4i 4) = = ?22(4) можем найти все конечномерные распределения
процесса Z (t) = = [Z (4) Z (f2)]Т) пользуясь соответствующими отрезками
разложения по полиномам Эрмита или ряда Эджуорта (если применяется метод,
использующий формулу (61) или (94)).
414
ГЛ. G. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Последние два примера иллюстрируют значительные упрощения, которые дают
рассмотренные упрощенные аппроксимации распределений. В задаче примера 28
количество уравнении для полной системы моментов первых четырех порядков
составляет 115 вместо 13, полученных в примере 28.
Дальнейшее сокращение числа уравнений для параметров распределения
возможно только при дополнительных ограничениях на структуру
распределения.
§ 6.7. Метод эллипсоидальной аппроксимации
6.7.1. Эллипсоидальная аппроксимация одномерного распределения. Для
более радикального сокращения числа уравнений для параметров
распределения предположим, что распределение имеет эллипсоидальную
структуру, т. е. плотность вектора состояния системы Z постоянна на
поверхности каждого эллипсоида некоторого семейства подобных эллипсоидов.
Этому условию удовлетворяет, в частности, нормальное распределение, для
которого плотность постоянна на каждом эллипсоиде (гт - mT)C(z - т)--=
const, С = /С-1, где т и К - математическое ожидание и ковариационная
матрица вектора состояния Z. На основании этого будем аппроксимировать
одномерную плотность /у (г; t) случайного процесса Z(t) в виде отрезка
ортогонального разложения по полиномам, зависящим от квадратичной формы и
= = (zT - mr) С (z - tn) [116].
Пусть {pv(u), qv(u)}- биортонормальная система полиномов от и:
