Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
и начальными условиями
Clll(tl, 12, ^2)~Ci2(^i, 12), c2n (t3, 12, ^ 2) = C22 (^1 > t2),
Cl21 (tl, 12, t2) =Сц2 (/i, Д ^2) = C13 (^i, ^2)-
Единственный квазимомент четырехмерного распределения CnU(ii, t2, t3,
/4), зависящий от четырех переменных ti, t2, t3, /4, определяется
уравнением
dcim (ti, t2, t3, tij/dt^ - -3[т2(/4)ДО(Д)]Сш1(Д t2, t3, t3) -
- 6 К (ti, ti) К (t -2, l3)K(t3, ti)~-c3(ti) Cm(ti, t2, t3) -
- &m (t i) [K (t3, 11) Сщ (ti, l2, h) + K (t2, ti)Cni(ti, 13, /4)-p
^4)Clll(^2i t3, tif\ -3[*(<S. 11) Сц2 (ti, t,2, ti) ~
-г-К (t 2, ti)cn2(li, t3, li)-\-K(ti, 11) c442 (t 2, t3, /4)]
и начальным условием
Cllll (^1, to, t3, t3) = Cu2 (tl, to, t3).
6.6.6. Приближенное определение стационарных процессов- в нелинейных
системах. Для приближенного определения одномерного распределения
стационарного в узком смысле процесса в стационарной нелинейной
стохастической дифференциальной системе методами, основанными на
ортогональных разложениях, следует положить в уравнениях (68), (69), (72)
т = 0, К = 0, ск =- 0. Если полученные таким путем уравнения имеют
решение, которое может служить параметрами соответствующего отрезка
ортогонального разложения одномерного распределения, то можно
предположить, что стационарный в узком смысле процесс в системе
существует. В этом случае для определения других конечномерных
распределений этого стационарного процесса следует заменить в уравнениях
(80) и (83) производные по tn производными по т"_1 = /" - /4, а начальные
условия (86) принять в виде
tty,,, уп (Tl, •••, тч_" ' п^2) ?>/,, ..., у,п _, ^ уп (т4 , . . . ,
Т., _ о ) ¦
6.6.7. Сокращение числа уравнений. Основной трудностью практического
применения изложенных здесь методов, особенно для многомерных систем,
является быстрый рост числа уравнений для моментов, семиинвариантов или
коэффициентов отрезков ортогональных разложений плотностей с увеличением
размер-
§6.6. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ 4Ц
ности р вектора состояния Z (в общем случае расширенного) и максимального
порядка N используемых моментов. Табл. 2 показывает зависимость числа
уравнений для параметров одномерного распределения от р и N. На практике
часто встречаются случаи, когда р равно 100 или даже 200. В таких случаях
число уравнений для параметров становится чрезмерно большим. Например,
при р=100, Дг - 6 число уравнений для параметров достигает 1,7-109.
Таблица 2
р
1 2 3 | 3 5 0 7 8 9 10 20
о 2 5 9 14 20 27 35 44 54 65 230
4 4 14 34 69 125 209 329 494 714 1000 10 625
G б 27 83 209 461 923 1715 3002 5004 8007
8 8 44 164 494 1286 3002 6434
10 10 65 285 1000 3002 8007
Для того чтобы уменьшить число уравнений для параметров распределений,
можно, следуя идее Мальчикова [95], использовать такое приближение
распределения, которое включает смешанные моменты или семиинварианты
только второго порядка и не зависит от смешанных моментов или
семиинвариантов высших порядков. Табл. 3 показывает зависимость числа
уравнений для параметров одномерного распределения от размерности р
вектора состояния Z и наивысшего порядка N учитываемых моментов каждой из
компонент вектора Z, входящих в такое приближение. Строка,
соответствующая N = 2, показывает число уравнений для моментов первого и
второго порядков для метода нормальной аппроксимации.
Таблица 3
р
А 10 20 30 40 50 1 00 150 200
2 65 230 495 860 1325 5150 11 475 20 300
4 85 270 555 840 1425 5350 11 475 20 700
6 105 310 615 1020 1525 5550 12 075 21 100
8 125 350 675 1100 1625 5750 12 375 21 500
10 145 390 735 1180 1725 5950 12 675 21 900
Сравнивая цифры в табл. 2 и 3, видим, что число уравнений для параметров
распределения может быть значительно сокращено с помощью аппроксимаций
распределений, включающих смешанные моменты или семиинварианты только
второго порядка. В частности, в приведенном выше примере при р=100 и N =
6
412
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
число уравнений сокращается с 1,7-10° до 5550, т. е. приблизительно в 3-
105 раз. При ^=10, Лг = 6 число уравнений сокращается с 8007 до 105, т.
е. приблизительно в 80 раз.
Такая аппроксимация распределения может быть получена различными путями.
Например, можно принять, что все смешанные семиинварианты выше второго
порядка равны нулю. В результате получаем рекуррентную формулу (61),
определяющую смешанные моменты второго, третьего и высших порядков как
функции моментов компонент случайного вектора и смешанных моментов
второго порядка [88]. Другой путь состоит в использовании известных
выражений смешанных центральных моментов через дисперсии и ковариации
компонент случайного вектора для нормальных распределений (ТВ, п. 4.5.9):
IV,,.... rs = • ¦ -Knim при Г!+ ... +rs = 2m,
!V"...,r5 = ° ПРИ П+ • • • + r,--2ffz + 1
(m=l, 2, ...), (94)
где сумма распространена на все различные перестановки 2т индексов hu 1Х,
..., hm, 1т, из которых гг равны 1, г, равны 2, равны s, a s = np для
л-мерного распределения. Оба
