Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
00 cc
= S...................••• S {q-Ai........v.n(z 1, • ••,zn_1, [сТГА'8л;
z;t]t) [й>(г", /")-)-
- 00 - CD
+ зс(Ь(гя, ^)]е<7"пТгп/я;=ох
X pVl...vn (Zi, • • ¦, Z") (Zi, . . ., z") dzx . . . dzn, (85a)
408
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
где z"n = [z", п+х ... zn, р+лу. Элементы krs (+ t.J = цег, es (tu t2)
матрицы К (ti, t.) в этом случае определяются уравнениями (55а) п. 6.4.5
при п - 2 с функцией ft(zx, z,; 02), определяемой формулой (79) при п =
2, zx = Zi, z2 = z2.
6.6.5. Согласованные разложения по полиномам Эрмита. Также, как в п.
6.6.2, доказывается, что при применении согласованных разложений по
полиномам Эрмита элементы матриц q(tm) и"(а)>
пропорциональны соответствующим квазимоментам:
<7х,.........= - У"п-ег
(г = 1, ..., р\ | кх | -j- ... +1 | = 4, ..., N), (89)
4* .... у-п, rs xhrxnscKi....ИА- ...,кл- е
(г, s= 1, ..., р; /г = 1, . . ., п - 1; | х* | + ... + | хп
| = 5.N),
(90)
.... ГГ 2~ ^пг ^пг ^ .
Як" хп, rs ((r)) xnrxns^K 1 Kn - ^r~eS
(г, s= 1, ..., р; s+=r; || + ... +1и"| = 5..................N), (91)
Як,...х"(") = 0 при |xj|+. . .+|ип| = 3;
х" (а) " 0 ПРИ I И" ¦ ¦ • I I = ^ И I Xl I + • • • + I хп I = 4-
Совершенно так же, как была выведена формула (77), получается формула
|<7х,...хп(+> zn_i, d/idXn) [Лдй(zn, ^") +
+ Х (&(*", 04; О]еа>}"*=о =
р
= 2 xns^s (+> t") Gx" хл_е^ (zi • • • j zn т,") +
s= 1
+ 22 2 с^1 ••• ОО0*". ^(гл> Ох
k = 2 |ft| = A ft,, .... V = ° Я
XGKl ...-hpep (Z\ ftlt,, ..., zn mtn). (92)
В частном случае нормального белого шума К в уравнении (7)
эта формула принимает вид
{<7х, x"(Zi, ...,zn_u d/idln)[irna(zn, tn) + + %(b(za, 04; ОК^п},л=0 = =
{Gx, Y.n(Zi-mtl, ..., zn_1-mtn_1, дЦдХп)[Игпа(гп, /¦") + + X(b(z", 04.:
0]exp{4(z"-m,n)}H"=0 =
§6.6. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ 409
Р
= 2 Knsas{zn, tn)Gy.1,...,y.n-es(Zi - mtt, zn - mtn) +
S~ 1
p
1
"Ь"2" ^ns fenS 0 *-^55 ^ n) Kn~'2es (^1 ^^1" ¦ * ¦
" Z n ftltn) "h
s= 1 P f/-l
+ 22 K"^.niasq(ztt, t")G^,.... (Zl-m," . . ., zn-mtn). (93)
q=-2 <= 1
Как и уравнения для моментов, уравнения (72) и (83) для коэффициентов
ортогональных разложений конечномерных плотностей процесса Z (I) в
практических задачах удобно составлять
дифференцированием случайной функции йя, Kn(Z(^) ... Z(in))
по tn по формуле Кто (3.61) или по общей формуле дифференцирования
сложной функции (3.73) и вычислением математических ожиданий полученных
выражений с помощью приближенного представления соответствующих
плотностей отрезками их ортогональных разложений (79).
Пример 26. В задаче примеров 15 и 20 при
Z = - Z3--ZV
при аппроксимации распределений отрезками разложений по полиномам Эрмита
с учетом полиномов до четвертой степени ковариационная функ-ция Д ((Д.
12) и квазимоменты с21 (Д, ^2). Ci2 (^1> G)> С31 (Ф > > с22 ^ 2) >
с1з (ы> Oi) двумерного распределения процесса Z определяются уравнениями
dK(tly /о)/Щ2 = - 3 |m2 (ti)+D (/2)) К (Д, t2) -
¦-Зт (/2) ci2 (Д, t2)-с1з (Д. G), дс21 (ti, t-7)/dt2 = -3m(t2)K2(t1, t2)
- 3{m2 (t2)P D (t2)}c21(tu t2) -
- 6K(ti, i2) C12 (+ t2i-3m(t2)c22(t1, t2), dcu(tu t2)/dt2 = 2 [xm (t2) -
8m (t2) D (t2) - 6c3 (Ы)] К (Д, t2) +
-\ [v - 6m2 (t2) ¦-V2D (t2)\ C}2 (t\, t2) - 6 m(t2)ci3(ti, t2), дсп (+
t2)/dt2 = - 6Д3 (Д, t2) - \8m (t2) К (tlt t2)c21(tlt t2) -
¦-3 [m2 (t2) -\-D (t2)\C31 + > ^2)-9Д (ti, t2) c22 (/1, t2) -j-c3 (ti)
C3 (t2),
dc22(t1, Д2)/Щ2 = 2 [v - 6D (t2)] K2 (ti, *г) + 2 [vm (*2) -
- 8m (t2) D (t2) + c3 (t2)} с21 (Д, t2) - 24ot (i2) К (Д, ^)<Л2(Д,
^2) +
+ [v -6m2 (t2) - \2D (t2)} c22 (Д, t2) - 12Д (Д, t2)c13(t1. t2) Jr6D (tx)
D2 (t 2), 5ci3 (+ t2)/dt2 = 3{D {t2) [2v-f 3D (t2)] - 6m (t2)cs (t2) -
3cz (t2)} К (t\, *a) +
-f-3 [2vm i.t2) - \2m{t2) D {t2)+cs{t2)\Ci2{tit t2) +
-f 3 [v - 3m2 (t2)-9D (/2)] c13 (tu t2)
и начальными условиями
К (tu t\) = D(t\), c2\(t\, t{) =c12 (Д, ti)=c3(ti),
C31 Pit G)=c22(tl' ll)~C13 (Д, t\)=C&(ti).
Квазимоменты сш (6, t2, t3), c2ll(tlt t2, t3), c121 (Д, t2, ^3). C112 (+
12. ^3) трехмерного распределения определяются уравнениями
^Сщ (Д. + t3)ldt3=-3 (m2 (t3) +D (^3)] Сш (Д, ^2" t3)
- Зот (t3) с112 (/1, 12, ^3)-6m (t3)K(ti, t3) К (+ ^3)"
- ЗД (t\> t3) ci2 (+ ^з) - 3K (t2, t3)ci2(ti, t3),
410
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
дс2ц (/i, 12, t?)jdt3 =-\2m(t3)K(ii, t3)cin(ti, t2, t3) -
- 3 [т1 (/3),+ D (f3)] С2Ц 1, t2, t3)-6/( (t\, t3) Сц2 (^ 1 > ^2. ^з) -
- 6Л'- (/ь t3)K(t2, t3) - Сз (t3) С21 (^1, ^2)-
- 6m(t3)K(t-2, t3) С21 Ci > ^з) - ЗК (t-2, t3)c22(ti, /3), <3ci2i (Д ^2>
^з)/<3^з = -\2т (t3) К (t2, ^з)с1п(Д /2, ^з)'-
- 3 [т2 (/3) Д-D (^з)] Ci2i (Д t2, ^3) - 6/( (/4, /3) Сц2 (^i> 12, t3)-
- 6 K(t\, t3)K2(t2, /3) - 6m (t3) К (ti, t3)c2i(t-2, ^3) +
"Г c3 (63) C12 (tl, to)-3K(h, t3)c2o(to, /3), dcn2(ti, t2, f3)/dt3 =
2lvm(t3)-6m(t3)D(t3)-'rc3((3)]c111(!1, to, t3) +
+ [v - 6m'2 (t3)- \2D (^3)] Сц2 (ti, 12, ^3) +
+ 2 [v - 6D(t3)]K(ti, t3)K(t2, 13) - 12m (t3) [K (t2, t3)ci2(ti, ^3) -|-
-K(h, t3)ci2(t2, ^3)] - 6 [K (t2, t3)c33(ti, t3)-: К (ti, t3)cj3(to /3)]
