Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
dcKl, . ...xn(G, • • •, tn)/dtn =
00 x
= J ¦ • • f IQy-i. .. .,Xn [zl> • • • > zn-1> (Zn> ^n) "I-
- 00 - 00
,l'^Zn\
(
я - 1
1п'Лтш 4-
%{b{zn, tny%n, tn)]eaTnZn\ln=Jn(Zu .... z"; 9J dzi dz" +
x"4" + L tr [<Й...,хп(а)-^Щ'---)] + ft=l L " J
+tr [<*.... ^(r))^в]-
§6.6. МЕТОДЫ. ОСНОВАННЫЕ НА ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ 405
Заменив здесь mtn, Ktn и дК (tft, tn)/dtn их выражениями из (68), (69) и
(80), приведем эти уравнения к виду
дск, хп (Ч, * * •, t n)/dt п Фх, у-п (/га, К, ti, . . ., trt) -р
I л' I
+ { 4i(mtn, Ktn, t")T + 2 2 cv(tn)<PiV(mtn, Ktn, t")T , ql, z" (a) +
l A = 3 J v| = * )
¦tr
Фs{mtn, Ktn, t") + 2 2 cv{tn)<p,v{mtn, Ktn, tn) |X
ft=3|V|=ft J
-1 rj
2 tr
h= 1
LI
Фг (/га, /с, th, t"Y
+ 2 2 cv,v2(t/,, t") 92Vlv2(/ra, /С, th, tn) - X
ft=3 | v, | + | v2| = ft J
1 jV
K (a) +2 2 фи,.xn, v" .... vn(/ra. K,
...... n J k = 3 I V, 1+ ... +| Vn | = ft
4, • • • , t") Cv,. .... Vn (^1, • • • , trt)
(I xi |, • • •, I xn I = t, • ¦ ¦, N - n + 1; | xx | + . . .
-)- | y,n | = n, . . ., N),
(83)
где в дополнение к предыдущим обозначениям Ф*2........x"(m' A, tu tn) =
00 CD
J • • • J |/?и, Xn (Zl" • • • , Zn-1, 7Ж^ ) Y^'4a (Zn> t") -
- 00 - 00
+ %(Ь(г", tn)TXn; tj] _0 (z!> ¦ ¦ ¦, zn)dzi .. .
dzn, (84)
[/"Дгарп, t") +
фи, .... Xn, V, Vn(/ra, 7C, tj, ..., t")-
oo oo
= j ••• j {?*, Xn^Zj, ..., Z"_lt
- oo - oo
+ X (*(*". t")TA"; tn)]eaYnj^^Pvi> "Vn(Z]t ...,zn)x
xwn{zu ..., zJdZi ... dzn. (85)
Эти функции зависят от значений mt = m(th), K(th, tt) (h, I - = 1, . . .,
ti) математического ожидания m(t) и ковариационной функции К (t, t')
процесса Z (t), что для краткости показано буквами т, К, t2, ...,/" в
качестве аргументов.
На основании свойства (2.51) коэффициентов согласованных ортогональных
разложений начальные условия для уравнений (83) имеют вид
''Х, Хп
(ti, •••,tn_1, tn_i) - Сх, Хп - 1 + Хп (ti, •••"tn_1). ^ (86)
406
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Совершенно так же, как была выведена формула (75), получаем
В случае нормального белого шума V в уравнении (7) эта формула принимает
вид
Заметим, что при каждом л неизвестными в уравнениях (83) (и в уравнении
(80) при л = 2) являются только те коэффициенты Суи.... vm которые
зависят от всех л аргументов ilt . . ., tn. В силу свойства (2.49)
коэффициентов согласованных ортогональных разложений от всех л аргументов
tu . . ., tn зависят только те коэффициенты cVl Vn, у которых ни один из
векторных индексов
vlt ...,vn не равен нулю, т. е. ни одна из сумм |лд|, . . ., | vn \
не равна нулю. Коэффициенты cVl Vn, у которых некоторые из
индексов лд, . . ., \п равны нулю, зависят только от тех аргументов tlt
..., tn, которым соответствуют ненулевые индексы, и, следовательно,
определены ранее при нахождении коэффициентов разложений распределений
меньших размерностей.
Проинтегрировав уравнения (68), (69) и (72), определим приближенно все
параметры т, К, cv (|v| = 3, . . ., N) отрезка разложения одномерной
плотности /y(z; t) как функции времени t. Проинтегрировав после этого
уравнения (83) с начальными условиями (86) при л = 2, t2 > tx совместно с
уравнением (80) при начальном условии К (П, t1) = K{t1), определим
приближенно ковариационную функцию K{t1, t2) процесса Z(t) и все
оставшиеся неизвестными коэффициенты cVlV2 отрезка разложения дву-
Н/х, ч"(ги ..., zn_lt дЦд'Кп){И1а{гп, tn)-ф
-т%(Ь{гп, tnyin, О] е1Л"г,!}а.п=о -
Р
д\ь\
Чу.! KB(Zi, .... z"). (87)
р
р
6.6. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ Н .. ОРТОГ ОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ 4Q7
мерной плотности f2(zlt z2; /г, t,). Интегрируя далее уравнения (83) с
начальными условиями (86) при И < ... < tn последовательно
при п - 3, . . ., N, приближенно определим коэффициенты^., Уп
отрезков разложений (79) плотностей f"(zlt ..., z"; /1; ..., /") (п = 3,
..., N). После этого коэффициенты отрезков разложений (75) всех остальных
конечномерных плотностей процесса Z(t) определятся по формуле (2.49), так
как при и > N по меньшей
мере п-N индексов равны нулю у всех коэффициентов cv, Vn
в (79). В результате будут приближенно определены все конечномерные
распределения процесса Z(t).
В случае непрерывно-дискретной системы с вектором состояния
(расширенным), определяемым уравнениями (7а) п. 6.4.1, уравнения (83)
заменяются уравнениями
дсУл, ,..,x,;(^i. •••, t,)ldtn = ср.", .Лп{т, К, tu - tn) +
/V
+ 2 2 ф^1, xn, Vi,¦ ¦ ¦ j ^
*=3 I vx 1+ ... +1 Vn \ = k
VrX^li ¦ • * > ^д)~I QKj,
+ J] Kn(a)dK(th, /") oln | - tr[^" ...iKn(")Kj ,
CKl /(Й+1)) =
CO 00 CD
= S S • • • S ^.*"(Zb • ¦ z"-1' 0)^z"' '^T z"T)x
- 00 - CD - 00
Xfl*(")/"(Zi. 0"(/(*+1) - 0))dvdz1 . . . dzn
(K |, • • ¦, I I = 1 > •••, .V-n + 1; | Xi I -b • • • +1 I = n, . . N)
(83a)
с функцией /^(Zl . . ., z"; 0"), определяемой формулой
(79). Формулы (84) и (85) в этом случае заменяются формулами
Ф°" уп(т, К, tu . . ., /") =
CD 00
= S ••• S *"(Zl' 1. [^г/1'<эя; z;T]T)[^;Ta(z", /") +
- 00 - CD
-Ьх(Мгп. ^")] L ^n(Zi, ..., zJ^Zj ... dz", (84a)
f n ~~
фу-1, -An, V,, ..., Vn K, tu ¦ ¦ ¦ > tn) =
