Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
[Р (d/ds - m) ф (s) ejT"]s=o = [Р {d/ds) ф (s) <cc-m>]s=0.
Пользуясь формулой (9) приложения 1 для производных полиномов GK, в итоге
получаем
[q% (d/idX) [iXTa (г, t) + %(b(z, ty X] 0] eaT*}i=o =
P
= St 0^(г-т) +
S= 1
+ LS ? ¦¦¦ c"/r°>, ox
ft= 2 | ft | = A ft, ft^=o
ХЙ"-ЛА-.и-у;(2 м), (7 7)
где - как и раньше, вектор, все компоненты которого равны нулю, за
исключением s-й, которая равна единице. Формула (76)
402
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
в этом случае принимает вид {q.A(d/idl)[ikTa(z, t) + %(b(z, t)T к;
t)\ei}-Tz}x=0 =
Р Р
= X (2. О G*-es (2 -m) -Т- Y X К-1) (г. 0 X
s-l S = 1
Р U - 1
X G*_2ej(z-т) + X X Ях'-АЛг, (г - т). (78)
U - 2 5=1
Метод квазимоментов для случая нормально распределенного белого шума был
предложен в [7].
Пример 24. В задачах примеров 20 и 21 уравнения для квазимоментов
идентичны уравнениям для семиинвариантов, полученным в этих примерах, так
как квазимоменты до пятого порядка включительно совпадают с
соответствующими семиинвариантами (п. 2.3.3).
Пример 25. В условиях примера 17,
2Д =-ZjZ2. Z, = -a.Z2~\-kV,
при аппроксимации /у (г; I) отрезком разложения по полиномам Эрмита с
учетом полиномов до четвертой степени уравнения (68), (69) и (72) имеют
вид (конечно, они совпадают с соответствующими уравнениями для
семиинвариантов; различие будет только при учете полиномов Эрмита не ниже
шестой степени)
т.\ = -тхт2 - к12, "2 = -atm2,
кц - -2 ("г^иД- Пхк\-2^гС2{),
^12 - (Щ2Д-а) ^12'-tU\k22 С22,
k22 = - 2а/г22 Д- ft2v,
с30 = 3 (2k11ki2 + П2С30 -р- /П]С21 Д- c3l)>
С21 - 2 [&11&22 Д~ ^12 -X (п^2 "X ^0 С21 Д- n^lCl2 "X С2г]>
С12 = - 2/г12/г22 - (т2 -Д 2а) ci2 - m]C03 - Н3, соз= -Зас03,
с40 = -4 (3/г12с30 Д- 3/гис21 Д- m2ci0 Д- П\С31),
с31 == -3 (&22c3o "X 3/г12с21 Д- 2/г11с1г - (3/л2 Д- а) c3i - Зт.\с22,
с22~ -2 [2/г12с21 Д- 3/г12С12 Д- &пСо3 + (п2 -Да) с22 Д- /Я]С13],
с13 = -3 (/г22С12 + ^12^03) - (m2 "X За) с13 - /п1с04,
с04 = -4ас01.
6.6.4. Согласованные ортогональные разложения конечномерных
распределений. Решение уравнений (5.38) и (5.41) для конечномерных
распределений случайного процесса, определяемого стохастическим
дифференциальным уравнением (7), можно искать в виде отрезков
согласованных ортогональных разложений конеч-
§ 6.6. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ МЛ ОРТОГОН АЛ Ь Н Ы X РАЗЛОЖЕНИЯХ 4Q3
номерных плотностей fn(zu . z;;; /1? . tn) (п. 2.3.5):
/п 1 > *¦¦) 1 1 ' ^ п) ^
! А'
• . .,Z")| 1 Д, V CVl, .... v"/\" .... v" (2lt . • . ,Z")
L /;=+i I v, l + ...ч | v" |=*
(n = 1. 2, ...), (79)
где {wn(z1, z")} (n-l, 2, ...) - согласованная последова-
тельность плотностей, имеющих те же моменты первого и второго порядков,
что и соответствующие плотности fn, вследствие чего каждая из плотностей
wn зависит как от параметров от значений математического ожидания m(t) и
ковариационной функции К (С t') процесса Z (t) при t, t' = tly . . ., tn
(n - 1, 2. . . .).
Заменив в выражении математического ожидания в уравнении (16) для
ковариационной функции процесса Z(t) двумерную плотность fs(zlt г.,; tlf
t2) аппроксимирующим ее отрезком ортогонального разложения (79), получим
дК (ti, t2)/dt2 =
,v
= фa (m, К, tu ^) + Xi Ф^л-Лт, К, с, t2) Cv,v2 (С, С),
&= 3 I Vi 1 + 1 v2 | = *
(80)
где
00 со
Фа(м, к, tly t2)= [ \ [z1-m{ti)\a{z.1, t.2)Tw2(zu z2) dz1dz2, (81)
- CO - CO
ф2^-2(т, К, С. C) =
00 00
= 5 pi -/га Cl)] a (z2, C)T//v1v2(Zi, z2)ffi)2(2i, z2)dz1dz2.
(82)
- CO - CO
Эти функции До и cp2Vlv2 зависят от значений mti, nit2, Ktt, Kt2
математического ожидания m(t) и ковариационной матрицы К (t) вектора Zi и
от ковариационной функции K(tly t2) процесса Z(i).
> Чтобы вывести уравнения для коэффициентов согласованных ортогональных
разложений многомерных распределений процесса Z(t), заметим, что согласно
(2.48)
404 ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Дифференцируя эту формулу по tn, будем иметь dcv.l хп (G) • • • I tn)/dtn
=
= [Qki хп(жг
+ [с
' ' idXn J dt
д V idXn J gn
Xi = . . . = 7.n - о
+
K-
¦m, +
Xn= 0
+ tr
fl** , -
*u \ idXx '
n-I
E[
f -
' v-n \ idXx '
idX" 1 gn
d
dK (th, <")\
к ••
+ 9",......."B(")Tm<B + tr
' ia*B;?" a \ ag, ' idXn) dt
Г n- 1 h= 1
Я^ - . . . = Яд - 0 Я1 =
(a)
¦Kt
= 0 ln
dtn I 1 _
+
" . - Лд - 0
dK (th, tn)
Ид
dtn
+
+ tr [q% - xn (a) 1
где q(tm) x"(zi> •••" zn)-матрица-столбец производных поли-
нома qKl xn(zn • • •. zn) по компонентам вектора mt =m(tn),
П
,** (zlt zn) - квадратная матрица вторых производных
полинома qKl x"(zi> • • ¦. zn) по элементам матрицы K{th, tn)
h=l, п), q(tm).....-*"(")> <?x *..., xn (a) - результат замены
одночленов вида z[4 . .. z[y . . . zr^ .. . zrnnpp соответствующими
моментами ar"........rip...............r", rnp в выражениях полиномов
(zi> • • •, z"), q*b (Zj, . . ., z"). Подставив в эту формулу выражение
dgjdtn из (53), заменив плотность fn(zly . . ., z"; ti, ...,tn)
аппроксимирующим ее отрезком разложения (79) и
учитывая, что в результате применения оператора d/idkk к е' d/idkk
заменяется величиной zk, получим при tx < ... < t"
