Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
дифференцирования сложной функции (3.75) (в случае произвольного белого
шума V (t)) и взять математическое ожидание полученного выражения. В
результате в случае нормального белого шума получатся те же самые
уравнения (72) для коэффициентов cv (в случае нормального белого шума V
(t) множитель при w1 (г) в (70) и при pv(z)w1(z) в (71) определяется
формулой (76)). Разложение плотности /х(г; t) по произвольной
ортонормальной системе функций было применено для приближенного
нахождения /д (г; t) в [115].
В случае непрерывно-дискретной системы с (расширенным) вектором
состояния, определяемым уравнениями (7а) п. 6.4.1, формулы (70) и (71)
заменяются соответственно формулами
Фх {т, К, t)= ^ \q*.([d't/id'k'z"TY)[il'Ta(z, t) +
- СО 4
-r%(b(z, t)T К'; 0]еа'Тг'|./=о1Дд(г)йг, (70а)
х
Фи"(т, К, 0= $ \q^{[dT/idk'z"jy)[irTa(z, t)-y - 00 4
-f%(b(z, tyx'\ t)]eik'Tz'\ pv(z)w1(z)dz, (71a)
j A =0
где г"=[гя+1 ... zp+ny, уравнения (68) и (69) заменяются уравнениями
(41а) и (42а) п. 6.4.2 при | г | = 2, krs = Це +<д с fl(z; 0),
определяемой формулой (63) при z = z, а уравнения (72) заме-
§6 6. МЕТОДЫ. ОСНОВАННЫЕ НА ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ 399
няются уравнениями
N
с* = Ч°у. (tn, К, I) ^ Ц)ул.{т,к, l)cv+qZ(a)m+tr {q${a)K}.
k=3 1 V I = k
CO CO
P'*(^ + 1))= \ \ <?x[(z'r COft(z, У)Т2'Г]Г)Х
-00-00
N
X % (w) a.-! (2)
l+? X, Cv (/(ft + 1) - 0) /7V (2)
/г = з | v I = k
dvdz (I x |=3, .. ., N).
(72a)
6.6.2. Метод квазимоментов. При аппроксимации плотности /у (2; t)
отрезком разложения по полиномам Эрмита
Pv(z) = tfv(z-т)1{\т\ ...,vp\), qv (z) = Gv (z - tn),
вследствие чего cv = qv (a) = Gv (p).
p. Чтобы найти вектор q% (a) и матрицу q% (a), воспользуемся формулами
(9), (12) и (13) приложения 1. Тогда получим
q*r (2) = ш; G* (z~ т) = ~~^G* (z - m) = КГ °*-ег (г - т), q$r(z)=-J-
Gy.(z] -т)=-i- xr(xr-l)GM_ie (2 - tn),
dkrr 1 > 2
д dkr
q5rs(z) = -M-GAz - m) = - y.rxsGy._e _e (z -m),
где er - вектор, все координаты которого равны нулю, кроме г-й, равной
единице. Заменив здесь одночлен вида (zx - m1)ri . . .
. . . (zp - тр)гр соответствующими моментами \хп г и вспомнив,
что Gv (р) = cv и что cv = 0 при | v | < 3, находим элементы матрицы-
столбца q% (а) и квадратной матрицы q?(а):
Qхг(а) = -^гсу.-ег (г=К р\ |х| = 4, ..., N); (73)
dxrr ((r)0 = 2 ^г К 1) П<- 2е^>
dvrs (°0 = ^x-er - es
(г, s = 1, ..., р\ s>r; I х I = 5, ..., N). (74)
При |x| = 3, q'y_ (a) = 0 при |x| = 3 и q$(a) = 0.
Таким образом, при аппроксимации плотности /y(z; t) отрезком разложения
по полиномам Эрмита элементы матриц q% (а) и q$(а) пропорциональны
соответствующим квазимоментам. Уравнения (68), (69) и (72) в этом случае
определяют математическое ожидание т, ковариационную матрицу К и
квазимоменты ММ = 3, . . ., N).
400
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
6.6.3. Вычисление подынтегральных функций в уравнениях.
Для вычисления подынтегральных функций в (70) и (71) воспользуемся
формулой (49):
I --------------------- [Ятег (г, t)-'r%(b(z, Л гл; () 1е''>-тЛ
\ д(Иг)г' ... д (iXp) Р L V ' AV V ' U \X:
P
= 21 M2> t)rszV ... 2?"1 ... Zrpp--
S- 1
I Г I Tl
+2 I. X-Y
k-ч \ h\ss k hi = o hp~ о
______________________________ri'< •••
V_____________________________
fti! ... йр! (/-! - /ц)! ... (rp - hp)\
XCOhl, .... ^(2, f)2'' ftl . . . г'-17
Заметив, что
ri- ••• V r,-*! -rp-hp "Э1 h 1 /-jo
2i ••• z/ = ------rsr-zj'¦ ¦ • z/,
(г,-/.!)! ... 41 ••• P dz^ ... dzh!
P
T 7^*i 7 1 7^ - ^ - 2? l 7ГР
r$Z... Zs . . . Zp - qz . . . ip ,
P P
находим
]a.,(0/:m)[aTa(2, 0 + X(&(z, ^ У 0] ^ U=0 =
s= 1 k
, V V1 Шл' ^ д|Л,<7и(г)
, , Aj.1 ... Л"! ягф ягйр • (^)
* = г | h \ = k ht, .... hp=o F Zl ••• zp
В частном случае нормального белого шума V (t) в уравнении (7)
(представляющего собой слабую среднюю квадратическую
производную винеровского процесса W (^)), пользуясь формулой (51) вместо
(49), получаем
{qK {d/idX) [iVa (z, t) + x(b(z, ty X; *)] eaTz}a,= 0 =
S = 1 * s, 0 = 1 f "
В частности, применяя разложение по полиномам Эрмита,
перепишем (75) в виде
{qK (d/idl) [ilTa {z, t) + %{b(z, ty к\ Ще1^'}х=й = = {GK{d/idk-
m)[ikra(z, t) + %(b(z, ty k\ *)] eaTz}x=0 = = {GK(d/idX)[iXra(z, t) +
%{b(z, ty I; t)]eaT ^~т)}х=0 =
§6.0. .МЕТОДЫ. ОСНОВАННЫЕ НА ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ 401
as (г, i) -г- Gх (г - т)
дк
V1 V V
^........................................................................
(г' 0
' ^ /г fcl, .TU о ,Ч' ' ' • V < •' ¦ ^
йтСи(г- т).
Здесь мы перенесли слагаемое -т из аргумента полинома G* в аргумент
показательной функции. Чтобы показать, что это допустимо, заметим, что
для любой дифференцируемой функции ф(,с' векторного аргумента s='[sj ...
s ]г и любых векторов а = \а1 ... сс^]т и т= \т1 . . . трУ
rrih ) cp (s) esT" = е5'1'^-JL ф (s) e'^a~sh.mh
и вообще
( d \kh / \ shmh . . s* (X-sJnu
\д^~~тЧ 9(s)e =e л-^-ф(")е ft л-
dshh
Применив эту формулу для дифференцирования по s*, . .., sp, находим
(3 A*i ( д \к" . . ота
••• \1Г-тр) Яф(5)е =
3'*'
Ф (S) й*
Отсюда видно, что для любого полинома Р (z)
