Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
....Гп (т1> • ¦ • " + -2J ТД-г) = >+, . . Гп-1 + Гп (Ч. ¦ • • > 1Д-
з)-
Следует, однако, иметь в виду замечания в конце п. 6.3.3 о возможности
появления "лишних" решений полученных уравнений за счет приближенности
исходных уравнений.
Моментно-семиинвариантный метод применяется для приближенного определения
характеристик стационарных в узком смысле процессов в стационарных
нелинейных стохастических дифференциальных системах совершенно так же,
как в п. 6.4.6.
§ 6.6. Методы, основанные на ортогональных разложениях
6.6.1. Ортогональное разложение одномерного распределения.
При аппроксимации распределения конечным отрезком ортогональною
разложения естественно принять за параметры распределения математическое
ожидание, ковариационную матрицу (от которых зависят эталонное
распределение и вследствие этого полиномы pv(z), qv(z)) и коэффициенты
разложения.
Чтобы получить уравнения для математического ожидания и ковариационной
матрицы, подставим в выражения математических ожиданий в формулах (8) и
(13) аппроксимирующую функцию
N
fl (z', Q) = w1(z)
i + S 2
*=3 I v | =
CvPv (2)
(63)
Тогда получим
396
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНТ
!ЬНЫЕ СИСТЕМЫ
к= S \a,(z, t)(zT - mr) + (z -m)a(z, i)T +
+ b(z, t)v(t)b(z, ty^w^z) Вводя обозначения
1 + 2 2 cvpv (z)
k=3\v[=k
срДт, К, t) ?= ^ a(z,
- oc
CO
cpIV(m, К, 0=$ Q(+ t)pv(z)w1(z)dz,
- CD
00
<p, (tn, X, ()--= [a(z, /)(2T-mT) +
- CD
+ (z-m)a(z, t)T + b(z, t)v(t)b(z, t)T]w1(z)dz, 00
<p2v(/n, /С, 0= S [a(z, 0(2T -mT) +
- 00
+ (2 - m)fl(Z, /)T+6(2, t)v(t)b(z, ty]pv(z)w1(z)dz, представим эти
уравнения в виде
N
/И = ф1(/72, /С, 0+ S S Ч+-(/И,
/г= 8 | V | = /г
N
к = Ц12(т, К, 0+? X Фгг("г, Я, 0+-
Д; =8 | V \=k
dz.
(64)
(65)
(66)
(67)
(68) (69)
^ Чтобы составить уравнения для коэффициентов cv, воспользуемся формулой
(2.40), согласно которой
Г v -
Ц-л
idX
о
А= о
Дифференцируя эту формулу по времени t и приняв во внимание, что полином
qK(z) зависит от математического ожидания т и ковариационной матрицы К
вектора Zt, которые являются функциями времени, находим
с* - [+<( id).
д \ dg1(X\ t) dt
+
т-\-
к= о
где q(tm)(z) - матрица-столбец производных полинома qK(z) по компонентам
вектора т, a q$ (г) - квадратная матрица производных
§6.6. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ 397
полинома qK(z) по элементам матрицы К. Подставив в эту формулу выражение
t)/dt из (31) и заменив плотность (г; t)
аппроксимирующим ее отрезком ортогонального разложения, получим
^(-ж)[^та(2, 0 + X(&(z, tfX;
хюг (z) dz + q% (ос) т -(- tr [q* (а) К],
X
N
L L cypy(z)
k- 3 | V \ = k
где q% (а) и q$ (а) - как всегда, результат замены одночленов вида z7^
... zjV в выражениях полиномов q% (z) и q$ (z) соответствующими моментами
аг^ г . Положив
°(т, К, t)= J \qJ4x) X
ф -
- СО 4
x\iVa(z, t) + %{b(z, ty Я; /)]e,V*jJi=o (z)dz, (70)
со
Ф^(т, /С, 0= $ {^(ж) [lVa(2> 0 +
- 00 ^
+ X(b(z, /)ГЯ; t)\ea'!^k^px{z)wl{z)dz (71)
и подставив выражения т и К из (68), (69), получим уравнения с* = Ф°(т,
/С, О + Ф^т, /С, 0т9х (°0 + tr|>2(m, /С, 0 <??(")] +
+ L S {фот(т, К, t) + (flv{m, К, t)1 q(tm) (a) +
-h tr [ф2У(т, К, t)q%(a)]} cy (| v | = 3, ..., N). (72)
Здесь моменты ar "г в q% (a) и q? (а) должны быть заменены их выражениями
через коэффициенты су в соответствии с формулой (2.42). ^
Уравнения (68), (69) и (72) образуют систему уравнений, определяющую все
параметры т, К, су (|v| = 3, . . ., N) отрезка ортогонального разложения
f\(z: 6), аппроксимирующего плотность /i(z; t). При этом за начальные
значения гп, К, су (| v | = = 3, . . ., N) при t = t0 следует принять
соответствующие параметры отрезка ортогонального разложения,
аппроксимирующего начальную плотность /0 (г) величины Z0.
Все предыдущие выкладки справедливы и в том случае, когда только qy (z)
представляют собой полиномы, а ру (z) не являются полиномами. В
частности, уравнения (68), (69) и (72) справедли-
39S
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
вы в случае, когда правая часть формулы (63) представляет собой отрезок
разложения /д(г; t) по производным плотности ыд(.г). В этом случае pv (г)
- w[V) (z)/w1 (г), a qv(z) представляют собой полиномы (п. 2.3.1). Такое
разложение было использовано для приближенного нахождения /д(г; t) в
[78].
Заметим, что уравнения (72) нелинейны относительно коэффициентов сх. Если
отказаться от требования совпадения моментов первого и второго порядков
распределения дд(г) с соответствующими моментами распределения /д (г; t)
и задать эти моменты для му (г) априори, то получатся линейные уравнения
для коэффициентов cv (| v | = 1, ..., N). Эти уравнения проще, чем (72),
однако при этом придется взять большее N.
Если qv(z) не являются полиномами, то предыдущие выкладки неприменимы. В
этом случае для вывода уравнений для коэффициентов cv следует вычислить
стохастический дифференциал функции qv(Z(t)) процесса Z (t) по формуле
Ито (3.61) (в случае нормального белого шума V (t)) или по общей формуле
