Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
f1(z; t) отрезком ортогонального разложения или ряда Эджуорта.
Моментно-семиинвариантный алгоритм составления уравнений для моментов в
случае полиномиальных функций a (z, t), b(z, t) и винеровского процесса W
(t) в уравнении (7) был положен в основу программы автоматического
составления и решения уравнений для моментов на ЭВМ [22].
§ 6.5. СЕМИИНВАРИАНТНЫЕ МЕТОДЫ
зэз
Пример 22. В условиях примера 15,
Z = - Z3 + ZK,
приравнивая нулю семиинварианты пятого и шестого порядков, получаем
соотношения (ТВ, п. 4.5.4)
= Рч> - 10Z5JJ.3 = 0, = ц6 - 15Dp4 - 10 ц? 30 D3 = 0,
откуда находим
ц6 = КШц3, ц6=15?)ц4-}-10ц?-30D3.
Первое из этих равенств совпадает с равенством примера 15, полученным из
условия G5(p) = 0, а второе отличается от равенства, полученного в
примере 15 из соотношения G6(p) = 0, дополнительным слагаемым 10цз в
правой части. Вследствие этого первые три уравнения примера 15 для
центральных
Рис. 14
моментов будут справедливы и в этом случае, а в правой части четвертого
уравнения добавится слагаемое -40цз совершенно так же, как и при
аппроксимации плотности отрезком ряда Эджуорта с учетом моментов до
четвертого порядка. Это совпадение объясняется тем, что равенство
О6(ц)=10хз, получаемое при применении ряда Эджуорта, равноценно равенству
Ge (ц) = lOjni, полученному приравниванием нулю х6.
Пример 23. В условиях примеров 14 и 17,
Zx = ZxZ2, Zg - &Z2~i~fcV,
уравнения для центральных моментов, даваемые моментно-семиинвариантным
методом с учетом семиинвариантов до четвертого порядка, совпадают с
уравнениями, полученными в примере 17 путем аппроксимации плотности /4
(г; t) отрезком разложения по полиномам Эрмита или отрезком ряда Эджуорта
с учетом моментов до четвертого порядка. Это объясняется тем, что в
уравнения для моментов четвертого порядка в данном случае входят моментьг
394 ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
не выше пятого порядка, а семиинварианты пятого порядка хрд, p-j <7 = 5,
совпадают с соответствующими квазимоментами cpg-Gpg(\x) (п. 2.3.3).
Поэтому равенства хрд = 0 и Gpg(p)--0 при 5 эквивалентны. Это,
конечно, не значит, что рассматриваемые аппроксимации равноценны. Чтобы
убедиться в этом, достаточно учесть, что в силу (2.45) ~лрд Gpg (р) при
p^-q:s-6, вследствие чего рассмотренные аппроксимации распределения дадут
разные уравнения для моментов выше четвертого порядка.
Таблица 1
Моменты Zx l
0 , 1 0,3 0,5 0 , 7 0,9
rn-i - а* D1 = a2 -а\ a4 "в a8 0,4823 0,0951 0,2181 0,2100 0,2640
0,4690 0,0966 0,2215 0,2439 0,3814 0,4661 0,1002 0,2369 0,2961
0,5591 0,4662 0,1039 0,2536 0,3505 0,7653 0,4675 0,1074 0,2709
0,4089 1,0115
mi - al Di=cc2 - "I ct4 Сif} CCg 0,4823 0,0939 0,2116 0,1935 0,2252
0,4690 0,0916 0,1944 0,1716 0,1932 0,4660 0,0923 0,1930 0,1706
0,1924 0,4661 0,0937 0,1958 0,1749 0,1995 0,4674 0,0954 0,2000
0,1811 0,2096
m1 = a i D!=a2-a!i a4 a8 0,4823 0,0951 0,2181 0,2097 0,2626
0,4690 0,0966 0,2211 0,2383 0,3518 0,4661 0,1002 0,2358 0,2804
0,4671 0,4662 0,1039 0,2518 0,3224 0,5857 0,4675 0,1074 0,2682
0,3658 0,7137
rrii = Di = a2 - a\ a4 a6 a8 0,4823 0,0951 0,2181 0,2100 0,2640
0,4690 0,0966 0,2215 0,2439 0,3814 0,4661 0,1002 0,2369 0,2961
0,5590 0,4662 0,1039 0,2536 0,3505 0,7652 0,4675 0,1074 0,2709
0,4089 1,0113
В табл. 1 и на рис. 14 приведены результаты расчета моментов случайной
величины Z4 в зависимости от времени t для а = 5, k = v = 1, [0, 1]
при нормальном начальном распределении вектора (Z1Z2]T с параметрами Шю =
/7Т 20 ^ 0,5, "0,1, А42о=0, ^-22о~1-
В третьей и четвертой группах строк таблицы даны результаты расчета
моментно-семиинвариантным методом с учетом моментов до четвертого и до
десятого порядка соответственно. Во второй группе строк даны результаты
расчета методом нормальной аппроксимации. В первой группе строк даны для
сравнения точные значения моментов величины Zi. На рис. 14 приведены
результаты расчета кривой распределения величины Z4 дтя тех же данных
методом нормальной аппроксимации (кривая 4) и моментно-семиин-
§6.6. МЕТОДЫ, ОСНО ВАННЫЕ НА ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЯХ 395
вариантным методом с учетом моментов до четвертого (кривая 3) и до
десятого (кривая 2) порядка. Для сравнения приведена точная кривая
распределения (кривая 1).
6.5.4. Приближенное определение стационарных процессов в нелинейных
системах. Для приближенного определения одномерного распределения
стационарного в узком смысле процесса в стационарной нелинейной
стохастической дифференциальной системе Методом семиинвариантов следует
положить в уравнениях (59) кг - 0. Если полученные таким путем уравнения
имеют решение, которое может служить множеством семиинвариантов некоторой
случайной величины, то можно предположить, что стационарный в узком
смысле процесс в системе существует. В этом случае для определения других
конечномерных распределений этого стационарного процесса следует заменить
в уравнениях (60) производные по tn производными по тn_j = tn - tu а
начальные условия записать в виде
