Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
учетом моментов до четвертого порядка уравнения (59) имеют вид (т =¦х4, О
= х2)
от =- m(m'1Jr3D) - х3,
0 = (v- 60) (m2 + 0)- 6mx3- 2х4,
х3=6 (v -30) гаОУ 3 ( v - Зт2- 90) х3- 9тх4,
х4=6 (v-j-2m2) D- Ю3603+ 12 (v - 60) тх3-[- 4x1 + 6 (v - 2от2 - 80) х4.
При аппроксимации /д (z; t) отрезком ряда Эджуорта с учетом
семиинвариантов до четвертого порядка в правой части последнего уравнения
добавится слагаемое 10х3.
Пример 21. Для системы примеров 16 и 19,
Z = - ф (Z) -f-1/,
уравнения (59) при той же аппроксимации /д (z; t) имеют вид
т = %° (tn, 0)4-%! (m, 0)x3 + %a(m, О) х4,
О =%о (от, 0)4-%! (от, 0)х34-%а(от, О) х4, х3 = %о(от, 0)4-%! (от, 0)х34-
%а(от, О) х4, х4=%о(от, 0)4-%i(ot, О) x3-f%2 (от, О) х4 -
- 4[%i(m, 0)х34-%а(от, О) х4] х3,
§ 6.0. СЕМИИНВАРИАНТНЫЕ МЕТОДЫ
391
где в дополнение к обозначениям примера 16
1)5*0 {т, D) = i)5*o (т, D) + 3D2i)5*2 (т, D) (А = 1, 2, 3), i)54o(m,
D)=i|540 (m, D)Jr3D2\p12(m, D) - 6D%o (m, D),
1)541 {m, D)=i|541(m, D) - 12D2i)512 (tn, D) - 6Di|52i (m, D),
1)54 2 (m, D) = i[542 {m, D) -6Di|522 (m, D).
6.5.2. Метод семиинвариантов. Многомерные распределения.
Совершенно так же из уравнения (5.41) для n-мерной характеристической
функции gn(?i 1, . .., tu •••, tn) процесса Z(t) выводятся обыкновенные
дифференциальные уравнения для семиинвариантов n-мерного распределения
процессаZ (/) при /х<... <tn:
д-Лг,......rn(tи • • •, tn)/dtn =
сс cc
С' l' { я! fi 1+ ••• +1 rn I
= ^--------г~---------------- UKa(zn, tn) +
J J \ а(йи)Г11... d{i\npynp L K n n>
- x -" /
-rx(b{zn, tny a"; /")] exp {/>.J2X +...-(- i*hTnzn -
In gn (K, . .xn- tu .. /")}^.1= =Яп=0х
xfn(Zu z"; 0n)dz! ... dzn (Jn, ¦ • •, = 0, 1, .. ., /V; | rx [, . . .,
|r"| = 1, ...
..., N - ny\\ | rx | -f- . . . -r | rn | = n, . . ., N). (60)
Начальные условия для этих уравнений, так же как и для уравнений (42) для
центральных моментов, имеют вид
"P'fl ГпУ 1" ..." ^П-1" t п - l) Гп - 1+Гп{^11 ' * * " t ti -
l).
Уравнения (60) могут быть преобразованы так же, как в п. 6.5.1 были
преобразованы уравнения (56). После этого подынтегральные выражения могут
быть определены по формуле (50) (в частном случае нормального белого шума
V следует пользоваться формулой (52) вместо (50)). Однако мы не будем
здесь делать это преобразование ввиду того, что, как уже было сказано,
метод семиинвариантов может быть рекомендован для практического
применения только в сравнительно простых задачах.
6.5.3. Моментно-семиинвариантный метод. Практическое составление
дифференциальных уравнений для семиинвариантов значительно сложнее, чем
составление уравнений для моментов, особенно в случае полиномиальных
функций a(z, t) и b(z, t) и винеровского процесса W (/). В этом случае
для составления уравнений для моментов достаточно найти стохастические
дифференциалы произведений Zx' (/)... Zr/ (i) или [Zx (/) - /пх(/)]г>...
\Zp{t) - mD (t)\rP по формуле дифференцирования сложной функции (3.61),
взять математические ожидания и выразить в полученных равенствах моменты
выше N-ro порядка через моменты до порядка N в соответствии с принятой
аппроксимацией плотности /у (г; /). И совер-
392
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
шенно так же составляются уравнения для моментов многомерных
распределений. Составить же уравнения для семиинвариантов даже в этом
простейшем случае очень сложно. Это привело к мысли применить
комбинированный метод, основанный на составлении уравнений для моментов и
замыкании их с помощью соотношений, полученных приравниванием нулю
семиинвариантов выше данного порядка N [21]. Приравняв нулю
семиинварианты выше Лг-го порядка и выразив их через центральные моменты,
получим соотношения, из которых можно выразить моменты выше iV-ro
порядка, входящие в полученные уравнения, через моменты до Аг-го порядка
(ТВ, п. 4.5.4):
[(Л,+ . . . -г лЩ 2]
С'' (-1) I I
Mr. с, = . * 1 • • • С х
h~ 2
х ? ... ? (")
Рн т ¦ • ¦ - 1 1 Р Sl~ • ¦ ¦ -rs
где суммирование по pu, ..., plft, ..., pfl, ..., psft распространяется
на все pn, ..., plft, ..., p5l, ..., pift, для которых 2 < pu + ¦ • • -г
P" < M (^ = 1, • • •, h), a s ==np для я-мерного распределения.
Моментно-семиинвариантный метод составления уравнений для моментов
основан на аппроксимации логарифма характеристической функции полиномом
.V-й степени:
N
In 0) = iVm + X S. Р-кг. (62)
k=2\ r\=k Г1
Очевидно, что такая аппроксимация распределения в общем случае отлична от
аппроксимации плотности конечным отрезком ортогонального разложения или
ряда Эджуорта. Естественно, и полученные моментно-семиинвариантным
методом уравнения для моментов в общем случае не совпадают с уравнениями,
которые дает аппроксимация плотности отрезком ортогонального разложения
или ряда Эджуорта.
Аппроксимация (62) распределения практически неприменима, так как не дает
возможности приближенно находить плотность fx(z; t) и связанные с ней
вероятности событий. Поэтому приходится, определив моментно-
семиинвариантным методом необходимые моменты, пользоваться для нахождения
