Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
выше заданного порядка.
> Чтобы вывести дифференциальные уравнения для семиинвариантов
одномерного распределения процесса Z(t), вспомним, что по определению
семиинварианты кГ1 г выражаются через
388
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
характеристическую функцию g1(X\ t) формулой (ТВ, п. 4.5.4)
д1 г|1пщ(Д t)
Xr = Xrt,
r P '
Я=0
diihY' ...d(iXp)rP J;
Дифференцируя эту формулу по времени /, подставив в полученную формулу
выражение dg1(k; t)/dt из (31) и заменив неизвестную плотность Д(г; /)
аппроксимирующей ее функцией /* (г; 0), будем иметь
д\ г I
-{ilTa(z, t) + x(b(z, t)TA\ /)}х
d(ihVl ¦¦¦ d(ilp)rP
Xexp {Дтг -1п^(Д /)}]- = 0 fl (г; 0) dz (56)
(rlt ..., rp = 0, 1, I r I= 11 •••, A7),
где 0 - вектор, компонентами которого служат семиинварианты хг до порядка
N включительно. В качестве начальных значений семиинвариантов хг при t =
t0 следует взять соответствующие семиинварианты величины Z0 = Z(/0).
Чтобы облегчить вычисление производных по iKl, ikp под знаком интеграла,
применим формулу дифференцирования произведения двух функций (39) для
дифференцирования по каждой из переменных Л1} . ¦ ., ikp. В результате
получим
[ДЧг(2, ^ + x(ft(z> tyk.
д {tki) 1 ... д {ilpy Р
gikT (z- т) gthT in-In gi (Я; t) __
pi*
r'p
hp = 0
X • • ¦ X chr\...chrp
а(адА"... d(iip)hp
h, = о hp = 0 " p)
х[Лта(г, t)+%(b(z, ty A,; /)]x
л I r I-1 h I
X eaT <z - rn) " eaT m-ln g, (X; t)_ (57)
Но (ТВ, п. 4.5.4)
d(ik1)ri~h1 ... d{ikp)rP~hP
у " ... (ap)vpI
j Vi I V 1 V
( fc=2 | v|=ft f
ea m-ln g, (Я; o = eXp --y , У7"-Xv ]
= i+X
(-1)J
s - 1
X X
ft=2 1 v 1= ft
... (aP)vp .
vx! ... v"!
Xv
=1 + X X (^i)Vi • • • (^)v'x
ft = 2 | v | = ft [ft/2]
X
^ (-!)¦> V X?1 • • • *
Qs
s- 1
Z""l =V?11! ••• Я1р'- ••• ?iil ••• 4sp\
1 + --- + QS
§ 6.5. СЕМИИНВАРИАНТНЫЕ МЕТОДЫ
389
где v= [v, . . . vp]\ q1 = [qn . . . qlp\\ qs=[qsl . . . qsp]r -
векторные индексы. Дифференцируя эту-формулу hx раз по йп, ...,hp раз
по iXp, положив после этого Aj = .. . = Хр = 0 и вводя
векторный индекс h - [/гх . . . hp]т, получим при |/г|7з=2
J________________________ giXTm- In g, (X; /) I _
XdiiXiY^ ... d(ikp)hP n= 0
[I ft 1/2]
= /гх! .. . /гя! X -Ц^ X -i-(58)
p s! Ац! .. . n\ . . . ac1! . .. a-\ v '
S=1 ?!+...+ ?s = /l W ^ ^
Все первые производные, соответствующие |/г| = 1, равны нулю. Подставив
выражение (58) в (57), будем иметь
*1 лп 1'.а1Гд -1 vV tiVa (2' ^ +1 (2' /)Т Л; ^ euT*"ln gl (Х; 0 I
( <Э (sAx)ri ... d(i\ yp f}.--
uo
г) + х(6(2- °'Я;
О rp | /¦ 1 - I [I ft 1/2]
+
+ У...У X ^i!у у (-п*
л, = о ftc= о | ft 1 = 2 (Л1-йх)! • • • (rp~~hpY- s-i ¦s!
X
. ГГ " Гг,- Л,1! .. . Гг" - /i"1! -: s;
Х " ^ , 9xi- • • • ?1р! • • • 9*1! • • • 9*Д Х
г |-l h |
xi-------------------------------------- -т-'------------'---j- [iATa
(z,t)-\-% (b (z, t)T A; /)] el7-T
\a(iA1)r'-ft' ... d{iXp)rP~hP 1 y ' ' n j я=о
Подставив это выражение в (56), получим дифференциальные уравнения для
семиинвариантов в виде
i I-, г 9 г ['Ara(z, t)+l(b(z, tyi] /)]el7-T<2-m) I x
J IdUKY1 ... d(a")rPl n n=o
r J la(iA1]''1 ... d(ilp)rP
- cc ' ^
r, r_p I r I - 1
Г1! . . . r"!
- п°У-
X/i(2; 0)?/z+ X ••• X X jri-b)!"'(rP'-h у
ft, = 0 hp=0 \ h\= 2 *' ' Г rA
[I ft 1/2]
у (-о* у
IP ^Hl-lftl
x ------------------т---------------------t-Г/Ага(г, Л +
' 1 <3(iA1)r'-ftl ... й(?Аp)rP~hP
- 00
+ %(b(z, /)ТА; О]еа1(г~т)|я=0/Нг; Q) dz (П, • • •, ^ == 0, 1, . . ., N; |
г | = 3, . . ., N). <4 (59)
Подынтегральные выражения в уравнениях (59) могут быть вычислены по
формуле (50). В частном случае нормально рас-
390
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
пределенного белого шума V в (7) производные по г'Я4, . . ., iX под
знаками интегралов в (59) выражаются формулой (52).
Как известно, семиинварианты первого порядка представляют собой
математические ожидания компонент случайного вектора, семиинварианты
второго и третьего порядков совпадают с соответствующими центральными
моментами, а семиинварианты высших порядков связаны с центральными
моментами взаимно однозначными зависимостями (ТВ, п. 4.5.4). Поэтому при
данной аппроксимации распределения }\ (г; t) уравнения (59) вполне
эквивалентны уравнениям (42) для центральных моментов и уравнениям (32)
для начальных моментов и могут быть из них получены соответствующей
заменой переменных.
Заметим, что уравнения (59) для семиинвариантов значительно сложнее
уравнений (32) или (42) для моментов. Поэтому метод семиинвариантов может
быть полезным только в сравнительно простых задачах.
В случае непрерывно-дискретной системы дифференциальные уравнения для хг
могут быть получены тем же способом. Но значения % в моменты времени
/(,г"1!(/г = 0, 1, 2, ...) могут быть найдены только по формулам,
выражающим их через моменты аг или рг. Это обстоятельство и сложность
уравнений (59) делают семииивариантные методы непригодными для
непрерывно-дискретных систем.
Пример 20. Для системы примеров 15 и 18,
Z = - Z3-f ZV,
при аппроксимации /д (z; /) отрезком разложения по полиномам Эрмита с
