Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
2 2 *¦>+
k= 3 vt +v2=fc
+ rlig, r-i (ti> t2) [фю (mt2, ?>t2)-j-фц (m*j, Df2) [x3 (t2) + Ф12
(щ2, Dt2) H-4 (^2)] +
+ vr (r- 1) r_2 (ti, t2)/2r
q = r = 1; 9 = 2, r=l; 9 = 1, r - 2; 9 = 3, r= 1;
q = r = 2; 9=1, r = 3;
(All (Hi t2) = K(ti, t2), [Xr0 (ti, t2)-\i,r(ti)',
d\Xqrs(ti, t2, t3)/dts =- st|5Coo'or' s_1) (m, K, tu t2, t3) -
4
-s 2 2 1) (m> h, t2, 13) +
i = 3vi+Vi+v,=4
+ slly, r, s-i (П> t2, t3) [фю (Щ2, П1а)-ффц (m-t3, Df3) \i3(^3) +
"ЬФ12 (nzta, Df3) [x4 (^3)] -(-vs (s-1) s-2 (ti, t2, t3)/2t
q - r=s = 1; 9 = 2, r = s == 1; r = 2, q-:s= 1; s = 2, 9 = /¦
= I;
№q, r, 0 (tlt 12, t3) - Hgr (tl, 12);
<3(Aiiii (ti, t2, t3, ti)/dti = -фоо'оо' 1' 0) (m, K, ti, t2, t3, ti) -
- 2 2 (i1) <v,v,i;e) ((tm). к, h, t2, t3, ti)+
k= 3 Vi +v2+v3+v4=?
+ Man ^2> ^з) [фю + (^4" Df) !^з (^4) + ^12 Dt) |x4
(^4)],
3S6
ГЛ 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
где
'li?,'vf (m> к, <1, .... ?*) =
СО 00
= Vi, 1 | j \ (2i - mtl)Sl...(zk - mikyky(zk)HVL ^(г -m)x
- 00 - 00
Xwk (Zi, . . zk\ m, K) dZi . ¦ . dzk (& = 2, 3, . . .),
H (z) - полином Эрмита /г-мерного вектора z, a wk(z1, .. ., гк\ т,
К) -
1, . . . , ?
^-мерная плотность нормально распределенного процесса с математическим
ожиданием т (t) и ковариационной функцией К (Д, t2). Ясно, что
't'v?' ' является функцией величин //if, = т (Д), ..., =
К (tr* *s) (r, s-1> ¦¦¦, k) и вследствие этого зависит от /lt tk,
что и
отражено в обозначениях. Все кратные интегралы фФ' ' выражаются
через интегралы ф? примера 16. Действительно, в результате интегрирования
по гь ..., z^_! получаются условные моменты компонент Zх, ... ..., Zk_1
случайного вектора Z=\Z\ ... Zk]T с нормальным распределением wk (zlt
..., г*; т, К), которые выражаются через условные математические ожидания
и ковариации величин Zb ..., Zk_i при Zk - z-t. Но условные
математические ожидания при нормальном распределении линейно зависят от
гк, а условные ковариации не зависят от гк (приложение 4). поэтому
интеграл по гк будет линейной комбинацией интегралов фф примера 16.
В случае непрерывно-дискретной системы с вектором состояния
(расширенным), определяемым уравнениями (7а) п. 6.4.1, уравнения (55)
заменяются следующими уравнениями:
Фо г"(Ф •••> tn)/dtn =
?. " ( дгпГ---+гпп
= \ ¦¦¦ \ ¦>---------------:-;--------?-[г'7ф(г", tn) +
ч I д д(апл)г(tm) 1
- 00 - со
+ Х (&(*.". 1пУК\ О] exp {Л'п [z'n-т' (^")]}}я' = о х X[zn - m1(/i)]r" •
• • [z1,p+n - mp+n(t1)yi,P^ . . . [2"_lil -
--"1 1 • • • [*n-1. p+n - rnp + n{tn-1)Yn-1'p + nlZn,n+-L
-
- тл+1 {tn)Yn'n+x ¦ • • tz".
x/;(Zj, • • •, z"; 0")dzj . . . dz"-2 rnAuri г"_,л/йА (/"),
Цг" . . ., rn (t1 , . . . , 1, l(,z hl)) =
00 00
= ^ J ... ) [2ц - m1(/1)]'-" ... [zljP+Jt-... X
- CO - CO - 00
X lzn-1, 1 - • ¦ • [Zn-1, р+я - ^р+л (/"_1)]'""-1.
Р+ПХ
x[znl -тх (tn)Ym+rn,p+i . . . \ztm - mn{tn)Y(tm)+rn-p+"X xK,>(4 о) -
тя+1_(^)]г"'я_+1 • • • К,р-Я(г;, ц) -
-0n(/'*+1) - 0))dvdz1 . . . dzn
§6.5. СЕМИИ НВАРИЛН Т Н Ь!Е МЕТОДЫ
Зо7
(^*11" • * * " t п, р+л | 71 |, ¦ • • " | 7 rt J 1" ... t М 1% \ 1,
t /-, ••• '-,i ", ...,М k = l, 1+1, *"+1'))-
(55а)
В частном случае при /г = Л/ = 2 и нормальной /, (г,, г2; 02) уравнения
(55а) представляют собой уравнения метода нормальной аппроксимации для
элементов krs(tj, /2) = це е 5 (Ч> ф) (г, s =
= 1, . . ,о) матрицы K{t1, r2).
6.4.6. Приближенное определение стационарных процессов в нелинейных
системах. Для приближенного определения одномерного распределения
стационарного в узком смысле процесса в стационарной нелинейной
стохастической дифференциальной системе методом моментов следует положить
в уравнениях (32) аг = 0 или в уравнениях (42) иг==0. Если полученные
таким путем уравнения имеют решение, которое может служить множеством
моментов некоторой случайной величины, то можно предположить, что
стационарный в узком смысле процесс в системе существует. В этом случае
для определения других конечномерных распределений этого стационарного
процесса следует заменить в уравнениях (54) или (55) производные по tn
производными по Tn_j = tn-ф, а начальные условия записать в виде
, гп 1" *4 - 2 > Ei - a) rn-i + г ni^li •••! ^ п - 2)
или, соответственно, в виде
[E,,...,/-rc(E, ^ гг- 2) ^п- 2) Ро Гп-i + rni^ 11 *4 - 2) •
Следует, однако, иметь в виду замечание в конце п. 6.3.3 о возможности
появления "лишних" решений полученных уравнений вследствие приближенности
исходных уравнений.
§ 6.5. Семиинвариантные методы
6.5.1. Метод семиинвариантов. Одномерное распределение.
Иногда за параметры распределений принимают семиинварианты вместо
моментов [18, 19]. Объясняется это тем, что в противоположность моментам
семиинварианты не растут с увеличением порядка. Так, например, для
нормального распределения все семиинварианты выше второго порядка равны
нулю. Поэтому для распределений, близких к нормальному, семиинварианты
третьего, четвертого и более высоких порядков будут малыми. Это дает
возможность аппроксимировать распределения, пренебрегая семиинвариантами
