Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
62,3 (М-) = G14 (р) = G3>2 (р) = G3^3 (р) = Go.4 (р) = Gi.z, (р) =0,
которые в данном случае дают
М-23 (/1 > ti) - D (ti) рз (t^) ~^3D (t2) p2i (ti, t2)-^6K(ti, t2) pi2
(/1, t2),
P14 (/1" ^2) = 4рз (t^) К (ti, t2)-\-6D (t2) P12 (/1, 12),
P32 (ti, t2) -D (t^) рз (/i)4~ 3D (ti) pia (ti, ^2) Ч-6/C (/1, 12) P21
(ti, 12),
Рзз (tl, t2) =3D (t2) рзх (ti, ^2)4~9/C(^i, t2) p22 (/1, /2)Ч~
Ч-ЗК^Оцхз^х, t2)-6 \3D (ti) D (t2) + 2K2 (ti, t2)]K(t 1, /0),
P24 (П, t2) =¦¦ 6D (t2) p22 (/1, t2)Jr8K(ti, ^2)р1,з(^1> t2) -
-24D (t2) K2 (h, t*) + D (h) [p4 (ti)-6?"2 (/")], V-ib(ti, t2) = 5p4 (t2)
К (ti, t2) 4 \0D (t2) P13 (ti, t2).
Интегрируя полученные обыкновенные (при фиксированном ti)
дифференциальные уравнения при начальных условиях
К (ti, ti)-D(ti), Р21 (ti, ti) = P12 (ti, П) = Рз(П)>
РЗХ (tl, H) = P22(G, t{)\li3(ti, ti) - \li(ti),
найдем все моменты двумерного распределения процесса Z (t) до четвертого
порядка.
,384 ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Остальные конечномерные распределения процесса Z(i) определяются
приближенной формулой
in (г1> • * ¦ " %п', tl, ¦ • ¦ , tп) ~
" [(2л)'1 I А |]_1/г ехр J (zT - тУ ) Л'-1 (г - tn) ; X
X
1+ N
cv
k-o lV ] = k
vj! . . . v"!
Hx(z - tn)
Cv=Oy(fl), (II
1T, m = [m(t{) .. ¦ rn (tn)]T,
rD (ti) X (th to) . • A (ti, tn)
A = К (ti, t2) D(t 2) ¦ К (to, t")
-K(th tn) A (t2, tn) D (in)
При этом моменты pV( Vn = p (гь У которых некоторые из индексов лд,
v" равны нулю, совпадают с моментами распре-
делений меньшей размерности, которые получаются путем вычеркивания всех
нулевых индексов и соответствующих аргументов, например ,u0oi
=
= (?з), Pons = Р112 (?2> t3, ti), ЦоюзоЦ13 (ti, ti).
Моменты рш (tly tn, 13), p2u(X. is, t3), PmO'i, is, t3) и Цц2 (<i, tn,
l3) трехмерного распределения, зависящие от всех трех аргументов П, to,
t3, определяются соответствующими уравнениями (55):
ерш (П> t2, t3)jdt3 --3 [m2 (t3)-)-D (^з)] Pjxi (ti, in. l3) -
-3m(/3)fii12(/i, t2, f3)-l 3m(t3)D(t3)K(/h t,)-
- 3K (tl, tx) Их" (Ii, t:i) - 3X(to, t3) Ц12 (tl, to), С 211 (Zl> t3,
t3)/dt3 --\2m(i3)K(t\, i;;l fllll(Il, to, t3)--
- 3 [я*2 (/S)-J-Z) (/j)] j.ifu (^i, г2, t3) - 6А (А, <з) Риз (1ц г >,
t3)-\-
+ 6 D(h)D{t3)K{ts, t3)+\2K(th t3)\K(th t3)K{to, t3)-'-D(t3) K(tt, /")l-f
_r Рз (^з) P21 (П> ^2)- 6m (/3) A (t3, i3) p 21 (щ, 'з) -
- 3m (t3) [D (t{) |i12 (/2, гз)~т2А(П, гг) Pia Оъ гз)! -
- ЗД' (t2, t3) p 2 2 ('1" I3) - 2Д (/1; 1г)Щз(Д , ^з)-D (ti) Pi3 (ti,
t3), ^Pm (t\, ts, t3)/dt3 - - 12m (t3) X (t2, '3) Pm (ti, I2, h) -
- 3 [m2 (^3) -\-D (^3)) Ui2i (ti, i 2, 13) - 6 K(t2, 13) Pus (t 1, l2,
t3)
л-6D(ts)[D(t3)K(th t3)Jr2I\ (tt, t2)X(t2, t3)]+l2X(ih 13) A2 (to,
t3)-
- 6m (/3) К (ti, t3) p2j (t-2, t3) -j-Из (t2) P12 (ti, 12)-3m (t3) D (t3)
\i\o(i\, t3)
- 6m (^3) К (ti, A) P12 ('2, t3)-3K (t\, 13) Li-22 (12, is) -
- D (is) P13 (ti, is) - 2.X (H, ^2)1113(^2, is)-дрпзНь ts, t3)ldt3=:2 [vm
(t3) - 6m (t3)D (t3) - p3 (f?,)l Pm (П, t2, t3)-'-
+ [v-6m2 (t3) - 12D (г'з)] ицг (П. h, t3) 4-vm2 (t3) К (t\, t3) +
+ \2[K(ti, t2)D(ta) + 4K(ti, t3)K(ts, t3)}D(t3)-2K(th t3)Pi(t3)-
- 6m (^3) [ЗА (t2, t3) Pi2 (ti, t3)-h3K (ti, t3) pi2 (to, 13)-5-
-\-X(ti, t2) Рз (^з)1 - 8 [A (ti, t3) pi3 (t2, t3)XX(to, t3) f.i 13 (/1,
t3)J
я начальными условиями
Piii (П. 12> ^2)=Р1г(П. ts), Pail (^1. 12, ^2) = Р2г(П. is),
P121 (ti, t2, t2j = p112(ti, 12, ^г) = Р1з(П. is)-
§ 6.4. МЕТОД МОМЕНТОВ
385
Единственный момент четвертого порядка, зависящий от четырех переменных
ti, t2, t3, ti, определяется соответствующим уравнением (55):
d^nn (П, t2, t3, tijjdti - -3 [m2 (14) -\-D (14)] Pnn {ti, 12, t3, 14) +
+ 6 [*(*!, t2)K(t3, ti) + K(t 1, t3)K{t2, ti) + K(ti, U)K(t2, t3)]D(ti) +
-(- 12K (ti, ti)K(t2, ti) К {t3, ti) - 3m (ti) \K (ti, t2) Ц12 (t3, ti)-
\-
-~K(ti, t3)\i,i2{t2, ti)-{-I\(t2, 13) Д12 (ti, П)]-К (ti, t2)\i.i3(t3,
ti) -
- К (ti, t3)\x,i3(t2, ti) - K(t2, t3) P13 (t\, ti) + p3 (ti) pin (ti, t2,
i 3)-¦
- &m(ti)[K(t3, /4) J-Tui (^i> 12, ti)JrK(t2, ti) pm (ti, t3, 14) +
-3-К (ti, t.x) pm (^2, t3, /4)j--3{K(t3, ti)\in2(ti, t2, П) +
+ Л (^2. П) ,ll112 (t\, t3, ti)-(-K(tl, ti)\ln2(t2, t3, 1.)]
и начальным условием
Ellll(^l> t'2, t-Ъ, ^з)=Н'112(-1> t-i, t3)-
Так как моменты не выше четвертого порядка не могут зависеть больше чем
от четырех из аргументов t3, ..., tn, то после интегрирования последнего
уравнения, определяющего Ццц, приближенная формула (II) определит все
конечномерные распределения процесса Z(t).
Приведенные уравнения для моментов трехмерного и четырехмерного
распределения выводятся совершенно так же, как уравнения для моментов
двумерного распределения.
Пример 19. Для системы примеров 10, 13 и 16,
Z = -<p(Z)+V,
многомерные распределения определяются с учетом моментов до четвертого
порядка приближенными формулами (I) и (II) предыдущего примера. При этом
входящие в формулы (I) и (II) центральные моменты определяются
приближенными уравнениями (55), которые в данном случае имеют вид
5|x?r(fi, t2)jdt2 = - гфоо' г~1>(т, К, t-г, i2) -
