Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
38!
Заметим, что при составлении уравнений для моментов "-мерного
распределения следует ограничиться только теми моментами, которые зависят
от всех п переменных tu . . ., т. е. для которых ни одна из сумм | гх [,
..., \ гп \ не равна нулю, так как моменты, зависящие только от части
переменных tx, . . ., tn, например от tk+1, t", представляют собой
моменты (п - к)-
мерного распределения и, следовательно, определены раньше при
аппроксимации (п - /г)-мерного распределения. Естественно, что уравнения
(54) при | | = . . . = | гк | = 0 совпадают с соответ-
ствующими уравнениями для моментов (п - &)-мерного распределения.
Если при всех п аппроксимирующая функция fn{Zi, ¦ ¦ ¦, zn\ 8J зависит от
моментов не выше .V-ro порядка, то при n = N придется составлять
уравнения (54) только для моментов, соответствующих | гг | = . . . = |r v
| = 1, и после определения /^-мерного распределения все остальные
конечномерные распределения будут определены однозначно.
В частности, при аппроксимации всех конечномерных плотностей
ортогональными разложениями вида (33) (например, согласованными
ортогональными разложениями п. 2.3.6) с учетом моментов не выше Лг-го
порядка все конечномерные распределения процесса Z (/) будут однозначно
определены после нахождения моментов .V-мерного распределения.
В случае непрерывно-дискретной системы с вектором состояния
(расширенным), определяемым уравнениями (7а) п. 6.4.1, уравнения (54)
заменяются следующими уравнениями:
да
Ti. (^1
¦¦¦, tn)/dt" =
[iX'Ja (zn, tn)-i
4, Тп-,,, rn-i, p ZT rn, Л -1 гп.р^я
. - z.n- 1, 1 ' * ' ^П~ 1, p ~ ft 6 n, 71+1 • ¦ • p ¦¦
Я A
rn. p - я
X fn (^l) • • • i ' * * d-Z и
(54a>
382
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
где
ай=[хда;"т]г, K = [Ki-- -Мт,
Хп = [А,п> л+ ! . . . ЛПр\ ' , = [А.,,, р J. J . . . р + л] 1 >
Ч = [2;т2йтг;"т]т = \zhl. . . zh, р + л]г (h = 1, . . ., /г),
2(i = [2п, р+ 1 ¦ • • 2П, р + лЗц, я+ j . . . 2"/у]т.
6.4.5. Многомерные распределения. Центральные моменты. Совершенно так
же, как в п. 6.4.2 были получены уравнения (42) для центральных моментов
одномерного распределения, выводятся приближенные уравнения для
центральных моментов "-мерного распределения случайного процесса Z(t) при
=
= f •• • I i г) (- у(tm) П'дС) *") +
J 1 d(tA,nl)rn'...d(iknpynP
- OD -CC \ r
~b 7. (p (zn, tnyxn\ tn)\ exp {i/Jn[zn-m (/")]}! [zu -"д (гф)]'". ¦ ¦ X
J f-n = 0
x [21/3 - tnp (/1)]''i(c.. .[г^г,! -*. . . x х[2п_1,р - mp(tn_1)Y"-
*'Pf,n(z1, ..., z"; OJdZi-. .dz" -
/>
2 ''пЛМ'Д ru-ejnh(in),
h= 1 0
(Cl. ^p = 0, 1, ..., A7; Kl, ..., |rn| = 1, ..., A7 -"4-1;
|CH- • • • ~r\rn\ = n, . . ., A7), (55)
н начальные условия для них:
H-'i rn(t i> ^(i-i> 1) - Mo. ..., rn_, -l rn (' i ' ¦¦¦' ^ (i
- i) -
Все сказанное в п. 6.4.4 об уравнениях (54) для начальных моментов
полностью относится и к уравнениям (55) для центральных моментов.
Пример 18. Для системы примеров 9, 12 и 15,J
Z = - Z3 + ZV,
двумерное распределение приближенно определяется формулой
/2 (д I г2; П. h) и [2лК/гп/г22- /ц2] ехр {- [/г2, (zi - mi)2 -
-2&12 (Zi-mj) (z2-m2)4fcn (z2- m2)'2j/2 (knk2z - kl2)}x
4
* = 3 v, + v2 = *
(I)
где m1=^m(t\), m2= m(t2), kxl = D (t-j), k22 = D (t2), tCVlv2 = GVlva
(м). Изо -
= Мз(П), М-оз = М-з (^2). М4о = М4 (^i)> М-04 - М-4 (^2). а моменты k12 -
K(t1, t2), M2I = М-21 (П. ^2)1 JJ-13 = М-12 (^1" ^2). М-31 = М-31 (^1.
^з)> М-22 = М-22 Hi. 12) и Ml3 -
§6.4. МЕТОД МОМЕНТОВ
383
= Pis(H. t2) определяются уравнениями (55), которые в данном случае имеют
вид
дК (tl, t2)/dt2 -: 3/П2 (t2) К (tl, t2) 3/Л (t-2) )'l2 (^1. ^2) Pl3 (tl,
t2),
dp2i (^1, t2)/dt2^=-3[/я2 (t2) + D(t2)) P21 (ti, ^2) -
-6К (ti, ^2)1412(^1, t2) - 3/л (^2) fJ22 (^1, ^г) + 3/л (t2) D (t{) D
(t2),
<?Pi2 (^1, tz)/dt2 = 2 [v/л (^2)Ч-m (t2) D (t2)- 6na(/g)]/C(/i, ^2)4"
+ [v - 6/л2 (/2)- 12D (*2)] Hi2 (*i, ^2) - 6/л (/2) Ц13 (ft, t,Ve
d\izi(tn t2)/dt2 = 6[3D (tt) D (t2) + 2K2 (tt, t2)]K(h, t2)-
- 18m (/2) A" (/1, ^2) fJ,2i (/1, t2)- 9/я (^2) D (t{) p12 (^1, ^2)-
-3 [/Л2 (^2)+?* (^2)] ^31 (^l> t2)- (tl, t2) P22 (^1, ^2) -
- 3.D (^1) (Xjj (^j, ^2) + Из Ul) Рз G24 5)^22 (^x, tz)ldt2=\2D (i2)[D
(t{) D (t2)-\-2K2 (ti, ^2)] -!~
+ 2 [v/я (f2) -8/n(*2)?> (*2) + Рз(*г)] P21 (*1, t2)~36m(tj К (tlt
^)Pi2(H, t2) -
~H [v- 6/Я2 (/2)- 12.D (/0)] p22 (tl, t2)-16/C {tl, t2) |4l3 {tl, /2)~f-
+ ?> {tl) [vm2 (t2) - 6m (t2) p3 (/2) - 2jx4 (/2)],
<9)Hi3 (ti, t2)jdt2 =
= 3 [v/л2 (/2)H- 30D2 (t2)¦- 12/л (^2) Рз (^2) - 5p4 (/2)] /(J{ti, t2)-^~
+ 3 [2vm (t2)- 15/л (/2) D (t2) + p3 (/,)] p12 ft, /2) Ч
4-3 [v - 3/л2 (t2)- 10.D ((УГрхз'^х,? t2).
Эти уравнения проще всего выводятся дифференцированием случайных функций
[Z (ti) - т (ti)]P [Z (t2) - tn (t2)]4 no t2 по правилу дифференцирования
сложной функции процесса, определяемого стохастическим дифференциальным
уравнением в случае винеровского процесса W (t) (п. 3.5.2), переходом к
математическим ожиданиям и подстановкой в полученные уравнения выражений
пятых и шестых моментов через моменты низших порядков из уравнений
