Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
^1, 3 (^) = -^1-^2 3k22%lX2 '- 3ki2X-2 "f~ 3k\2^2'2y
^0,4 (•*¦) ~ X2 6&22-^2 4" 3/?22j
G5,0 (x)=xl- 10?n*i-b 15^1^!,
G4, 1 (x) = Xl*2 46i2Xl 66ц*1 X2 ~7" 12fell?l2-Tl ~-36ц*2,
G3, 2 (*) *1*2 *- 622*1 - 6612*1*2 3611*1*2 Д- 3 (бц622 2612) *1
rf" 66n6i2*2)
G2,3 (*) = *1*2 - 3622*i*2 - 6612*i*l - 6ц*2 4 66,2 6 22*i рЗ (бц622+
2622) *2,
Gl, 4 (*) - *1*2 - 6632*1*2 46i2*2 ~p 3622*l 126i2622*2)
G0, 5 (*) = *2 ¦ 10622*2 ~b 1 5622* 2-
Уравнения (35) имеют в данном случае вид
осю - -"п> "ui - -"а01, "20 =-2"2ь
ац = - сц2 - ""ц, "02 = - 2аа02-; 62v,
"зо = - 3"з1, а21 = - 2а22 -а"21,
"12 = - ai3 -2aai2+62vai0, а0з =-3a"03 + 362va0i,
"40 = - 4 [a01a40 + 4aioa3i + 4 (au -2ai"a01) (a30 - 3a10a2o) +
-f 6 ("20 - 2aio) ("21 -"oi"2o -2ai"an) - 24"i0"0i], "31 = 3 [2a0ia3i -j-
3"ina22+ ("02 - 2aoi) ("30 -¦ 3"ю"го) 4~
+ 6 (ац - 2ai0a0i) (a2i - a2o"oi - 2ai0an) +
- 3 ("20 - 2a)0) ("12 - "1 o"o2 - 2"oi"n) -¦ 24amaoi] -• cta3it
§6.4. МЕТОД МОМЕНТОВ
379
0^22 - 2 [3cXol^22 2сСюа13 3 (оС02 2(Xoi) (&21 а01а20 - ^ОДо^п) "Г
"г 6 (&п - 2а10сс01) (а12 - осх0ао2 - 2cc0ictx х) -f- (а20 - 2аю) (а03 -
3a0icc02) -
- 24aioaoi] -2аа22,
01X3 = - ^4с?()1а13 а10а04 7~ 3 (сс02 - 2аох) (а12 - а10а02 " 2a01axl) -
j-
+ 4 (ап - 2а10а01) (а03 - За01ао2) - 24ax0aoi] ¦- 3aa13-J- 'ik-х'у.ц, а04
= - 4аа01 -j- 6?2vao2.
Эти уравнения проще всего выводятся замыканием первых 14 уравнений
бесконечной системы примера 7 (соответствующих /•1-{-/'2=1, 2, 3, 4)
соотношениями
^4, 1 (и) = G3,2 (р) = G2, з^р) = Glf 4 (р) = О,
выражающими моменты пятого порядка аппроксимирующей плотность /х (г; t)
функции fi(z, 0) через моменты низших порядков (п. 2.3.1). В данном
случае эти соотношения имеют вид
М-41 - 4^30^12 - 6?ххР21 =0>
032- ^-220зо- 6^x2021- Зйцрх2 = 0, j
р23- ЗЙ22Р21 -б^хгрхг - ^iiPo3 = 0,
М-14 - 6Й22Р12 - 4йх2роз = 0- (I)
Выразив здесь центральные моменты через начальные, решив эти уравнения
относительно а4х, а32, а23 и а14 и подставив полученные выражения в
уравнения примера 7, соответствующие /4 = 4, r2=l; Тх = 3, г2 = 2; г1 =
2, гг - 3; - 1, г2 = 4, получим приведенные выше уравнения.
Уравнения (43) и (44) для математических ожиданий и центральных моментов
имеют в данном случае вид
тх = -тх/и2 - &12. т2 = -а т2,
kИ - 2 (ff!2^11 + m1^12 + ^12 =- (т2 + ") k12 - niik22 - 012.
к22~-2a?22-j-?2v,
М-зо = 3 (&xi&i2 - т2рзо - ffii02i - M-3i) •
Р21 = 2[*12 -(тг + а/2) Р21 - тхрг -Р22],
012 = ^12^22 (^2 + 2а) Рх2 - "хРоЗ - Pl3>
Роз = - Зар0з,
р40 = -4 (Зйх2р30 -j- б^ххРгх -Г /Л2Р40 ~rmi03i)C
031=-[3 (йггИзо + 5/ei2p2x + З&Х1012) - (Зт2 + а) р31 - З/щргг.
022 =--- 2 [3&22021 5^12012 4" ^11003 "Ь (т2 "Ь °0 022 "Ь
Ш101з]."Ь k2vkn,
Pox - - 4ap04-|-6?2v?22,
013 = ,3 (2^22012 "Ь ^120оз)-(ff?2-f-3a) 0X3 Л^10О4 Н- 3k2vk12-
Эти уравнения проще всего получаются дифференцированием случайных функций
[Zx (/)- mi (t)]r [Z2 (t) - m2 (/)]¦* (r, s=l, 2, 3, 4; /--j-s=l, 2, 3,
4) по формуле Ито (3.61) с последующим переходом к математическим
ожиданиям и заменой моментов р41, р32) ргз. 014 их выражениями из
уравнений (I).
6.4.4. Многомерные распределения. Начальные моменты. Совершенно так
же выводятся приближенные уравнения для моментов многомерных
распределений в случае, когд, параметрами этих распределений служат
моменты.
380
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
> Имея в виду, что момент гс-мерного распределения случайного процесса
Z(t),
(r)г" ГU7 ГпрУ 1" * * * > tп)
. • zrxni (tn).. .z:r(tn),
определяется формулой
агх, . . ., rn('- II •••> У) = аГ:1 +. . . . +Пр+ . . . +гт+ . . . +Гар
(tlt •••> tn) - аЫ,Ы... \гп\3п(%ъ Лп. fj, _ tn) Я
d{iXlx)r" ... д (iklp)rip ¦ ¦ ¦ d(iknl)rni . .. d (iknpYnp _k= . .
.=Ял=о '
где kkl, Xhp - компоненты вектора kk = [A,frl. . .X,,p]T, rk -
= \rn. . . r,.p]T - векторные индексы, | гк | = rftl -f- . . .
4-"VSt> (k =
= 1, . . ., n), находим
•••. tn)/dtn =
I Oil
a (a11)r" ... а ... a (anl)r'" ... a аг"_
Подставив сюда выражение dgjdtn из (5.41),
¦ • •, K\ h, • • •, tn)/dtn =
Xi=- . . . - hn - 0
со со
= J ... J [illa(zn, tn) + %(b(zn, tnyXn\ /")] exp {tAfo + . . .
- 00 - 00
...-)- iXnzn) fn (z1? . . ., zn, . . ., /") dz^ •.. dzn, (53)
и заменив плотность fn(z1, ..., zn\ tu ..., ^п) аппроксимирующей ее
функцией f*n(z1, . . ., z"; 0n), где 0n -совокупность моментов n-мерного
распределения до порядка N включительно, получим следующую систему
уравнений для моментов при t1 < . . . <tn:
даги , tn)/din =
00 * j f |
= J ¦ f I,/.., ,rt "a/,, ttt)+x(b(zn, tnyxn, *")]x
- CO - CO
.iky,, (
I 0
д {Ип1)Гп1.. .d {ilnpY
Z,V. . . Z
T' ^ 1,1 7 ^- 1 ' ^ f* (7 7 ' (") // 7 И 7
И и" 1, •••, N; I Tj!, ..., 1 r" J = 1, ..., N - n -f 1;
I fi|+¦¦¦+!''n\ = n...A). (54)
Начальные условия для этих уравнений имеют вид
аГр ¦ ¦ rn{t 1, ..., tn~\, tn~l) ~ ari, ¦ ¦ rn-i + rn(tl, •••.
^n-l)>
так как
7Г1
MZry(ti). . .Zryp{tl). . . zy-ytn_p. . (Ci)2;ni(/"-i). • ¦
• • ¦ZrPap(tn_1) = MZ,r"(U). • .z^(/,). . .Z["-+r- (#"_,). . .
s 6.4. .МЕТОД МОМЕНТОВ
