Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
также от математического ожидания т и дисперсии D процесса Z (<). Таким
образом, вектор 0 представляет собой четырехмерный вектор с ком понентами
т., D, р3 и р4.
На основании формул (4) и (5) приложения 1 полиномы Ну (х) и Gv (х)
определяются в данном случае формулами
Эти формулы дают
Н0(х) = 1, H1(x)=x/D, H2(x) = (x2 - D)jD2,
Н3 (x)=(x3 - 3Dx)/D3,
Hi (х) = (х4 - 6Dx2 -L 3D2)/О4,
Нъ (x) = (x5 - 10D*3-f 15D2*)/D5,
H6 (x) .= (x6 - 15Z)x4 + 45D2x2 - 15D3)/D6,
G0 (x) = 1, G4(x) = x, G2(x)=x2-Z),
G3(x)=x3- 3 Dx, G4(x) = x4 - 6Dx2-j-3D2, G5 (x) = x5-10Dx3-|- 15D2x,
G6(x)=x6-15Z)x4 + 45?>2*2-15D3.
a3 = 3vaз-30 (a2-2af) a3 - 15а1а4-|-90с?1с?з- 180aja2 + 72a?, a4=-
160aia3-|-6va4 - 60a 2a4-f- 120a|- 480a?a2 + 256a?.
Эти уравнения проще всего получаются из первых четырех уравнений
бесконечной системы примера 6 подстановкой в них выражения а5 и с 6 из
уравнений
dxy Ldy
_ U = x/D
Уравнения (35) имеют в данном случае вид
а4 = -a3, a2 = va2 - 2а4,
q5 (а) = G5 (р)=р5 - 10?>р3=0, цв (a) = Ge (р) = р6- 15Dp4 + 30D3 = 0,
376
ГЛ. С. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
выведенных в п. 2.3.1 для моментов отрезка ортогонального разложения
плотности.
Уравнения (43) и (44) для математического ожидания и центральных моментов
третьего и четвертого порядков имеют в данном случае вид
tn = - (т-3D) tn - р3>
D - v (т- + D) - 6m2D - 6mp3 - 2р4,
p3 = 3mD (2v -f 3D) + 3 (v - 3m- - 9D) p3 - 9mp4,
p4=^6Z) (vm2 + 20D2) + 12 (v - 9D) тц3 + 4p3 + 6 (v - 2m2- 10D) u4.
Пример 16. В задаче примеров 10 и 13,
Z = -q>(Z) + V, уравнения (43) и (44) при У = 4 имеют вид
m = ipio (т, D) г|;ц (т, D) р3 + я|д2 (т, D) р4>
О = ф2о (т, ?>) + %i (т, D) р3-f 1|з22 (т, D) р4,
р3 ==т(;3о (т, ?>) + 1|з31 (т, D) р3 + ф32 (т, D) р4,
Р4 = Ч'4о (т, ?>)+i|34i (т, D) Рз + 442(/л, D) р4 - 4i|3n (т, D) р3 -
4т)з12 (m, D) р3р4, где коэффициенты т|з^? (т, D) выражаются через
интегралы
0D
i)3p = 1(ф (т, D) ~ у~2 д J - т}Р <?~(2~m^2D dz - 00
формулами
1|3ю (т, D)=- (5021(3о+ 6ОФ2 - ti).
1|зп (m, 0)=-^з (3Di)3i- 1|з3),
i('i2 (m, ?)) = - 2^4 (3D2i|30 -6Di)32 + i)34),
'( -го (tn, D)-=v-^ (бО2^!+ 6?)1)зз-1|35).
'la (m, D) = ~ (ЗОфа - 1)з4),
>1 22 (tn, D)=- (ЗО2!)!!- 60l(33 + lj35),
Ч310 (m, D) = - (502i(32 + 60i)34 - i|:e) - 3Dtp10(m, D),
i)-31 (m, -0) = 2^3 (ЗОфз - 1)зв) - ЗОфц (m, D),
Фаг (m, D) =- - (3D2i(32 - 6Di)34 + i(;e) -3?>i()i2 (m, D),
i)-40 (rn, D) = 6vD - ^ (502фз + 60фб - +),
2
ф41 (m, D) = -^(3D% - i)-e) - 4vio (m, D), i|>42 (m, D) = - (ЗОфз -
6?>t|36 + Ф?)-
§G. I. МЕТОД МОМЕНТОВ
377
Интегралы вычисляются по рекуррентным формулам Фр = (Р-1) ?>'Фр-2+ Ф>-1
(р= 1, 2, ...),
= ^ ^(z-т)Я<Г(г-т,>/2?>йг = (р-l)Z>фp_2 -
-i^[(l-m)*-1e-(/-m)2/2D+(-l)/'(/+m)/'-1e-(/+m)2/2D;i (p=l, 2,...), У 2л
Фо =
% = i|-
'О
/I
Пример 17. Найдем аппроксимацию одномерной плотности двумер ного процесса
[Zx (t) Z2 (0]т примеров 11 и 14,
Zj = - Z1Z2, Z2 =-aZ2-j-*y,
отрезком разложения по полиномам Эрмита с учетом моментов до четвертого
порядка,
Mz; t) и /i* (z; 6) =
= [(2л)2 (*11*22 - *12)] "1/2 ехр {- [*22 (Zi -mi)2 -2*12 (Zi - mt) (z2 -
m2)-H
f 4 ^
-j- *n(z2-m2)2]/2 (*n*22 - *12)} ¦{ 1 -j- ...У.рл. HXtV: (z -
m) j- ,
V ft=3 Vt+Vz = /i!
т-де в соответствии с (2.43) cV(V = gVjV (р) (vb v2 = 0, 1, 2, 3, 4; vx +
v2 = 3, 4).
Полиномы Эрмита Hpq(x) и Gpq (x) определяются формулами (4) и (5)
приложения 1, которые имеют в данном случае вид
Нр^{х)=(-\)Р+Че Gp, д (х)
^CilX^ + 2Cl2XlX2 Т-с22д:2)/2 <ЗЯ + <7 - (сц*[ J 2Cis*i*j 4-
с = 2*|[/2 ,
dxi dx?
dP + q (ftn^j е 2kizyi У2 +/г22у2) / г
di/fdyl е
1 г/ =Z7jc
где
к=
Эти формулы дают
*11 *12 1 *12 *22]
7С"1 = С =
Сц ci? j
С12 С22 !
#о, о(*) = 1. #1,0 и) = СцЛ] +с12л2,
#0, 1 (*) =Ci2JCi + С22*2>
Я", о (*) = (cii^i + Ci2x2)2 - Сц.
378
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Яр 1 С*) = (С11-*1_Ь<:12-*2) (с12*1 + с22*2) Cl 2,
Яо. 2 (*) - (^12*1 -ЬС22*2)2 с22>
Яз, о (х) ~ (Cll*l + Cl2*2)3 - ЗСц (Сц*1 -р Ci2*2),
Яз. 1 (х) = (Сц*1~гС12*2)2 (cliX\-^C 22*2) 2Ci2 (Cll*l-Ci2*2) С ip {С
i2Xi~j-C 22Х 2),
Н\, 2 (*)=(Сц*1 -?12*2) (Ci2*i = С22*2)2-С22 (Сц* 1 - Ci2*2)-2Ci2 (с 12*
1+ С22X2),
Я", з (*) = (Cl2*l -С22*2)3 - Зс22 (Ci2*l+C22*2)>
Я4, 0 (х) = (Cll*l - Ci2*2)4 - бсц (Сц*1 -f- ?12*2) Н- Зсц,
Яз, 1 (x) = (cnXi-:-c12X2)3 (Ci2*H с22*2) -Зс12 (сц*1+ Ci2*2)2 -
3 (Cii*l~rc12*2) (Cl2*l+C22*2> -ЗС11С12,
Я2, 2 (*) =(Сц^Н-С12^2)2 (Cl2^1T-C22^2)2- С22 (Cll.Vl-rCi2*2)2 -
- 4ci2 (Cii^i+ ?12*2) (Ci2^i 3-c22.t2)-Сц (ci2*i-rc22*2)3 +СцС22 + 2ci2"
Я1, з {х) = (Сц*1 -{-?12*2) (^12*1 -]~С22*2)3 - Зс22 (Сц*1 ~г ?32*2)
(Cl2*l С22X2)
- 3Ci-2 (Ci2XiJ[-C22X2)2 4-3Ci2C22,
Яо, 4 (*) = (Cl2*l-f-C22*2)4 6с22 (Cl2*l ~Ь C22*2)2 + Зс2"2 )
, о (-'с)=== 1" Gi,o(*) = *i) G0,i(x)=*2,
G2, О (*) =Xi 6ц > Gp 1 (л:) - *i*2 &12,
Go, 2 (*) = *2 - 622, G3, 0(*) = *? - 3knxi,
^2,1 (•*¦) ~ - 2k12xx -
^1, 2 (-*0 - -^1-^2 *- &22-*-1 2^12^2* ^О.з{-^)~-^2 3^22^2у
^4, О (•*") == -^1 " ?)k-[ \X\ 4" З&ц"
^3,1 (x) = xtx2 - 3?12*1 ЗкцХхХо-г^цк^,
^2, 2 (-^) - Х±Х2 - ^22-^1 - ^k\2,X\X2 - кцХ?, 4" ^11^22 + 2^12,
