Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
где
z' = [zp+1 .. . zp+n 2л+1 ... ZPY [104, 107].
Уравнения (41а) и (42а) с соответствующими начальными условиями
приближенно определяют моменты т, (| г | = 2, . . ., N) как функции
времени t в случае непрерывно-дискретной системы.
В частном случае при N = 2 и нормальной f\ (z; 0) уравнения (41а) и (42а)
представляют собой уравнения метода нормальной аппроксимации для
непрерывно-дискретной системы.
Взяв в качестве функции f\ (z; 0), аппроксимирующей плотность f1(z; t),
отрезок ее ортогонального разложения (33), приведем уравнения (41) и (42)
к виду
М/г = Фо/г + 2 2 4v/Wv(^) (/1=1, • • • , Р),
к=3 |v| = Л
Вг= Фо.г- -2гМ-/1=1
-г 2 2
к=3 I v| = k
h= 1
где
(г 1, г, = 0, 1, .... ЛГ; I г 1 = 2,
00
Фол = $ ah (z, ^^(zjdz,
- 00 00
фЧл = ^ aA(z, /)pv(z)t?/j(z)dz,
N),
(43)
(")
(44)
(45)
(46)
Фо.Г= \
Д1 г I
д (iXi)1'1 ... <9 (iXp)'Р % (Ь (г, /)ТА; /)] У?-т (г-"0
Г I <9|г|
- [t'ATa (z, t) -
ay (z) dz,
! ?. = о
(47)
- [iATC (z, /) +
Л
+ X (b (г, 0T ^ 0] ea'(z_m) I /°V (2) 0*1 (2) dz, (48)
J Л=0
a начальные моменты в qv (а) должны быть выражены через центральные.
Очевидно, что уравнения (43) и (44) всегда нелинейны из-за наличия
слагаемых вида \ir-e qv (a).
Заметим, что при применении ортогональных разложений по полиномам Эрмита
<7v(a) = Gv(p) в силу формулы (2.43) и, следовательно, qv(а)
автоматически получаются как линейные комбинации центральных моментов.
При аппроксимации f1(z; t) отрез-
§ 6.4. МЕТОД МОМЕНТОВ
373
ком ряда Эджуорта (2.46) следует в коэффициентах ряда Эджуорта заменить
семиинварианты их выражениями через центральные моменты.
6.4.3. Вычисление подынтегральных функций в уравнениях.
> Для вычисления подынтегральных функций в уравнениях (32), (42), (32а),
(42а) и формулах (36), (37), (47) и (48) заметим, что вследствие
известных выражений семиинвариантов через характеристическую функцию {ТВ,
п. 4.4.4), формула (5.37) дает
a|s|-/.(p; t)
y-s" .... S (0 -
_ д (ifXi)s 1 . . . д (i'uq)Sq
w / J.\
--- xSi. .... sq (t),
(Л- 0
Г де<. ...,Sc/{t) (Si, . .., s? = 0, 1, ¦N; \s\ = 2, ..., ЛГ) -
семиинварианты процесса W (t) (x(tm),.... s? = 0 при |s| = l, так как эти
семиинварианты представляют собой математические ожидания компонент
процесса W (/), которые все равны нулю). По формуле Тейлора
х (ц; 0 = X X ''' ^g) 4 X*. s (0 + Рм.
к=2 | s| = fe l- g-
где pN-остаточный член. Подставив сюда выражение \i = b{z,ty и собрав
члены одинаковых степеней относительно ..., л" получим
%(b(z,tyi\ *)=X X ' hll hpl -"ft! hp{Z, O + PJV.
k- 2 I h\-k
где
(Oh,, .... k (z, t) =
•\Л V-> ¦'"Pin .,.-p 1" Pi/1 + .. +Pqp^
= w---v . ~ ft • Л 7ni-^-P?xi-.p^x
Pn +... -г pqi - hi Pip1- ¦¦¦ -pqp~hp F
x bi" (z, t) ... bp4Qp (z, () {hu ..., A, = 0, 1, ..., N\ |/г |
= 2, ..., N).
В частности, если hr = hs= 1, hu = 0 при u=pr, s, r<s или
hr = 2, hu = 0 при и г, to
p
Wo, ....1.0.0,1,0...(г,/)= 2 bmr(z, t)bns(z, t)vmn(t)
r s m, n=l
P
Wo 0,2,0 o (Z,*)= 2 bmr(2,/)b"r(Z,/)v""(0
r m,n-\
представляют собой элементы crri(z, /) (r, s = l, ...,(/) матриьы сг(г,
t) = b{z, t)v{t)b{z, ty, так как семиинварианты второго порядка
случайного вектора (t) при данном t являются
374 I'Ji. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
элементами его ковариационной матрицы
t
k(t) = k(t0)-'\j v (т) d.T.
^0
Пользуясь формулой (39) для производной произведения двух функций и
полученной формулой для %(b(z, t)TX; t), находим
2 rsas{z, t)z[' ¦ ¦ ¦ z?_1 ¦¦¦ zr/ +
2 2 2 • • • 2 c?;... c^,......................(z, pzry~h' ... z]rhp,
k- 2 [/l| = ?/li=0 hp-Q
(49)
d [iXTa(z, t) + %(b(z, t)TX; t)]eikT^~mA =
J X=o
( d ('A1)ri ... Э (г'Уя)г^
P
= 2 гА(г, 0 (zi mi)r' ¦ • • • • ¦ (z -m YP~r
S- 1
1 r 1 r' ^
+ 2 2 2 2 chr\...chpy,
k=2 \ h\mk hi~0 hp= 0
Xwhl,....hp(z,t)(z1-miy*-h'...(zp - mp)rp-hP. <4 (50)
В случае нормального белого шума V (t) (винеровского процесса W (/)) xf
^ (t) = 0 при |s|>2 и, следовательно,
"л,..... hp (2, t) - 0 при | h | > 2. Принимая во внимание, что
"/>,..... hp (z, t) представляют собой элементы матрицы cr(z, t) =
--=b {z, t)v(t)b(z, t)r при | h | = 2, представим формулы (49) и (50) к
виде
{[а'а(г',)+х(Нг•,)Tl; 01e'1T'L. "
2 rsas{z, t)zry . . . /Г1 ... z'pp +
S= 1
P
t)z\' . . z'y ¦ ... zrf +
S- 1
+ 22 rsr a {z, t)zY . . . гГ' • • • z^_1 ... zrp, (51)
q- 2 s= 1
§6.4. МЕТОД МОМЕНТОВ
375
[iXra (z, t) + x(b{z, t)rX-,
P
= 2 rsas(z> - m1)r> . . . (2,-m/s-1 ... (zp-m )rP +
S- 1
+ jYtrs(rs-l)ast(z, 0(Zi-m1)r> . - . . . . (2,-m,,)^+
S= 1
p ?-1
+ 22 rsr о {z, 0(Zi-""i)r* . ¦ • (Z, - • . .
<7=2 s= I
• • • (z,-¦ • • (+-^)rP- (52)
Пример 15. В условиях примеров 9 и 12,
Z = - Z3 + ZV,
найдем аппроксимацию одномерного распределения процесса Z (/) отрезком
разложения плотности fi (z; i) по полиномам Эрмита
h(z- t) и ft (z; е) = (2яП)-1/ге-(г-т)2/^{1+СзЯз (z-m)/3! + с4Я4 (z-
m)/4!}.
Согласно (2.43) квазимоменты c3 = G3(|i) и c4 = G4(p) представляют собой
линейные функции центральных моментов р3 и р4 соответственно, зависящие
