Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
первого и второго порядков.
При составлении уравнений (35) в конкретных задачах полезно иметь в виду,
что число Nrq моментов г-го порядка ^-мерного случайного вектора
определяется формулой
fjr nr _ (? +г *)¦
Wq - ^q + r-1 >
а полное число моментов порядков, не превосходящих N, q-uep-ного
случайного вектора равно
N
pN _V* Д/r - Г N ______1 (^+9)!___I
rq 2^ 'N+q N\q\
Л= 1
§6.4. МЕТОД МОМЕНТОВ
369-
Разложение (33) может быть, в частности, разложением /у (г; /) по
полиномам Эрмита. Можно также пользоваться для аппроксимации /у (z; t)
отрезком ряда Эджуорта (п. 2.3.4). В этом случае число слагаемых в сумме
(33) при учете моментов до Лг-го порядка возрастает до 3N - 6, вследствие
чего можно рассчитывать на большую точность аппроксимации.
6.4.2. Одномерное распределение. Центральные моменты. Так как
начальные и центральные моменты случайной величины связаны
взаимнооднозначной зависимостью (ТВ, п. 3.5.1), то можно пользоваться
уравнениями для центральных моментов, а не для начальных.
> Чтобы вывести эти уравнения, вспомним, что центральный момент pr......
г = М (ZJ . . . (Zp (t))r!> вектора Z (() выражается
через его характеристическую функцию gy(^; t) формулой {ТВ,. п. 4.5.3)
Г,, '
<31'
д Цк1)г' ...д (i).p)rP е U' т
?.= о
где m = m{t)-математическое ожидание вектора Z(t). Из этой формулы
следует, что
Л = о
,-gTmdgi(bt)
dt
d (iliY '- ¦ -d(ilp)rP
я=о
m. (38)s
Вычислим второе слагаемое в правой части. Положив для краткости g1 (Я; t)
= e~il т gi.{Z\ t), получим
a^i
д (ik1)ri.. .д (ikp)rP
_}те-И "gy(X; t) III
V
/1=1
?.=o
d\r\
d (ikl)r'.. .d (ikp)rP l 0
. \ = D
tnh.
Дифференцируя произведение iXhgx{X\ t) rh раз no ilh по формуле для
производной произведения,
-?-ru{x)v (*) = X ClruB~l) (х) и<г> (х),
1 = 0
получим
/л
- ix;gl (Я; t) = iXh L-аШ + rh A* g (M ddh)h d{ikh) h d(iXh)
b
(39)
370
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Отсюда находим
д!г[ п л = /; a|r|gi(M
dUX1)rK..d(ikp)rp ' h d(}Xiy\..d(i'kp)rr
+ г ди~У~х(Я; t) _
H d (ily rK . ,d(iXh)r>t ... d (ikp) r?
Положив здесь A. = 0 и приняв во внимание, что
____________________д1'1"1^! (к t)______
Н'г - е . *
А=0 h
где eh - вектор, все компоненты которого равны нулю, кроме одной h-й,
равной единице, получим
д (йх)'"1. . .d(ihp)rP
-- iXflg1 (X; t) =
J =rh\ir-
Следовательно,
i\d(lk1y'...d(ikpy* kTe amgl(A; t)\ jn=j^rhur_ehmh.
(40)
Подставив выражения (31) и (40) в (38), приняв во внимание, что все
центральные моменты первого порядка равны нулю, и заменив f1(z\ t) в (38)
аппроксимирующей функцией /((г; 0), получим
0= S ah(z,t)f{(z\&)dz-mh (h = 1, . . ., р),
11л= J \а(Лх)г'...д(Ля)гр['лта(г, t) + %(b(z,t)TX\ t)]eik (z~m)\^0'X
- оэ
xfl(z;Q)dz-^rhiir_efiin/l (ru ..., rp = 0, 1, ..., .V; | г ) = 2,
...,1V).
Отсюда получаем следующую систему уравнений для математического ожидания
и центральных моментов вектора Z(t):
тн=] ah (г; t) fl (г; 0) dz (h=l,...,p),
(41)
00
X fl (2; 0) dz- 2 ^ ah vc, t) fl (z; 0) dz
h=l -m
(n, • • •, Гр = 0, 1, ..., N; I r I = 2, ..., N).
(42)
§ 6.4. МЕТОД МОМЕНТОВ
371
Интегрируя уравнения (41) и (42) при соответствующих начальных условиях т
((") = т0, рг (/") = И? (П. - • -, ^ = 0, 1.
|г| = 2, . . ., Л'), найдем все координаты вектора 0 как функции времени
t.
Ясно, что уравнения (41) совпадают с уравнениями, полученными из (8)
заменой плотности /) аппроксимирующей ее
функцией fl (2; 0), а уравнения (42) для моментов второго порядка, | г |
= 2,- с уравнениями, полученными таким же путем из (13).
Уравнения (41) и (42) можно также вывести, дифференцируя случайную
функцию [Zx (/) - tnx (/)]л . . . \Zp (/)-mp(t)]rp по правилу
дифференцирования сложной функции случайного процесса Z{t) с учетом
характера процесса W (/), взяв математические ожидания обеих частей
полученного равенства и вычислив математическое ожидание в правой части
для аппроксимирующей неизвестную плотность /j(z; /) функции /((г; 0).
Этот способ во многих задачах практики оказывается простейшим способом
вывода уравнений (41) и (42).
В случае непрерывно-дискретной системы, вектор состояния (расширенный)
которой определяется уравнениями (7а) п. 6.4.1, мы получаем из (5.38а) и
(5.386) п. 5.3.1 вместо (41) и (42) следующие уравнения:
га,
\ Мг. О A (z; (r))dz (/1=1,..., л),
"гЛ= 5 т\гк) 1.4 At) (/г = л 4- 1, . . р 4- л),
Л=0 R
оо ос
' 11 = 5 \ су (2. v) щ, (а) /; (7; 0) dv dz - 00 - 00
(Zi = л - 1, . . ., р; k = 0, 1, 2, . . .),
m(hA:1, = mA_/,(/'ft+1>) (h = p+ 1, .... p-f- л; /г = 0,
1,2, ...), (41:)
uT = ^ !-----------------------Г [г'Я'У (2, /) - -/ (b (2, /)т Я'; /)]
е^'Тг" ] x
У" 1 5 О'УА • • ¦ c1 (глл) л A-о
х(2л+1- тЛ г1)Гл 1 . . . (2Р+Л-/тгр+л)^+яА(2; 0)с(2 -
л: ш _ _
- 2 J ah{z, t)f{(z; 0)dzу
h~ 1 _а
оо оо
M/u+1))= S S (2i - .. . (гя-/пя)г" + гр+ях
- оо - оо
X [(r)ft, i(z'" u)-m.n+i]rix+l • ¦ • p-n(z', ")-mj>x ^
x%(y)A(z; 0(/lft+l)-0))<forfz (r4 Гр = 0, 1, | r | = 2, - -
Л7; fe = 0, 1,2, ...), (42a)
3 72
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ дифференциальные системы
