Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
моментов вектора Z до определенного порядка N включительно.
> Для того чтобы вывести обыкновенные дифференциальные уравнения,
приближенно определяющие эти моменты, вспомним, что момент аг, Гр = МЪ[1
(t). . ,Zrpv{t) выражается через характеристическую функцию gj (Z; t)
вектора Z (t) формулой {ТВ, п. 4.5 31
§ 6.4. Метод моментов
[
(*¦;*) 1 д(Лх) ri...d(ikp)rpJ*=o'
]
366
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
где г = [?у.. .гр]т - векторный индекс, а | г j = /у -f .. . -f rp. Из
этой формулы следует, что
^ = Г ^ f>gi i) 1
' L d(il1)r'...d(ilp)rv dl J;.= t
p)
Подставив сюда выражение dg1 (X; t)/dt из уравнения (5.44),
cc
d8l-fo' - = ^ [i^a (Z, t) + % (b (z, ty).; /)] e-^/y (z; /) dz, (31)
- x
и заменив неизвестную плотность f1(z; t) аппроксимирующей ее функцией fl
(z; 0), получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений
для моментов:
я, =
^ I а п I 0+Х (Ь (г, 0Т?4 б)]еаЧ П(г\в)(1г
а | 6 (Лрш.д (;7Р) г I ?.=о
- X '
{Г и гр = 0, 1, .. N; И = 1, N). <4 (32)
Интегрируя систему уравнений (32) при начальных условиях
"г (*о) = ar (ri. • • •. >> = 0, 1, • • •, -V; | г | = 1, . .., А/),
найдем все координаты вектора 0 как функции времени t (a? - моменты
начального значения Z0 вектора Z(t) при / = /0)-
Само собой разумеется, что при | г [ = 1 и (г j = 2 уравнения (32) для
моментов первого и второго порядков совпадают с уравнениями, полученными
из (8) и (12) путем замены плотности /у (z; t) в выражениях
математических ожиданий аппроксимирующей ее функцией f\(z; 0).
Уравнения (32) можно также вывести, дифференцируя случайную функцию Z[>
(/)••¦ Zrpp (?) по правилу дифференцирования сложной функции случайного
процесса Z (?) с учетом характера процесса W (/) (пп. 3.5.2-3.5.4), взяв
математические ожидания обеих частей полученного равенства и вычислив
математическое ожидание в правой части для аппроксимирующей неизвестную
плотность /у (z; t) функции fl (z; 0). Этот способ во многих задачах
практики оказывается простейшим способом вывода уравнений (32).
В случае непрерывно-дискретной системы, вектор состояния (расширенный)
которой Z = [Z1...Zp]r состоит из двух блоков: Z' = [Z1. . .Zjt]T
(непрерывная часть) и Z" - [Z" 4 г. . .Zя]т (дискретная часть), и
определяется уравнениями
Z' = в (Z, /) + Ъ (Z, /) К, Z'k+l = О), (Zk, Vk),
Z = [Z'TZ"^, Z'= 2 Ziuyt), (7а)
§ 6.4. МЕТОД МОМЕНТОВ
367
где Ak = \t{k\ t{hA v) (k = 0, 1, 2,...), выводим из (5.38а) и (5.386) п.
5.3.1 уравнения для моментов одномерного распределения случайного
процесса Z (t) = [Z' (t) c Z" (t)T Z"' (t)T]T, где
- процесс, совпадающий с Z'(t) в точках tlk) (k = 0, 1,2, ...):
a r\k (и) представляет собой плотность случайной величины V , [104, 107].
Уравнения (32а) и (326) с начальными условиями
вытекающими из (5.39а) п. 5.3.1 приближенно определяют моменты аг (| г |
= 1, . . ., N), как функции времени t в случае непрерывно-дискретной
системы.
В частном случае при N = 2 и нормальной /[(г; 9) уравнения (32а) и (326)
представляют собой уравнения метода нормальной аппроксимации для
непрерывно-дискретных систем.
В качестве аппроксимирующей плотность /у (z; t) функции /[(z;0) удобно
взять конечный отрезок ее ортогонального разложения вида (2.41):
00
z'"(t)= 2 z'k\Ak{t)
со со I
- СО - X
|хтц" (z; 0 (t{k+1) -0)) dvdz (ri> ¦¦¦¦ i r я = 0. !• • • • i |r| =
r1+...+r/)+n=l, ..., N\
k = 0, 1, 2, ...), (326)
где
Uо) г,. ...iгp -rjt
(rlt ¦ ¦ ¦, гррЛ - 0, 1, ..., Л; |г| = г1-)-...-]-Гр+я=1, • • • > У)>
"г(М=аг"
N
f1 (z; t) " fl (z; 0) = (z) 1+2 2 (z) • (33)
k=3 | V1 = ft
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Коэффициенты cv здесь представляют собой в соответствии с (2.38) линейные
комбинации моментов случайного вектора Z(t) до порядка N включительно:
Cv = (") К, vp - О, 1, Л:; ( v j = -f- vp = 3,...,Л!)
(34)
(напомним, что qv (а) представляет собой результат замены всех одночленов
zrp ...zrpp в выражении полинома qx(z) соответствующими моментами а Гр).
Коэффициенты полиномов pv(z) и c/v(z)
в общем случае зависят от моментов первого н второго порядков вектора
Z(i), поскольку плотность (z) в (33) имеет те же моменты первого и
второго порядков, что и /д (z; t).
Подставив выражение (33) в (32) и приняв во внимание (34), получим
следующую систему уравнений для моментов:
.V
"г = Фо,г+ 2 2 фу.Г<7у(")
fc=3 I v| = A
(П, • ¦ ¦, ^ = 0, 1, . . ., N; |v[ = 1, . . . , N),
где
'(о, г = [ f ----------------[ilra(z,t) + i(b(z,tyK:t)]eaTz\ w^dz,
^\d(ih)n..-d(iXp)rP J ;.= a
(36)
ifv ,= f i ----------------- [tVa(z,^)+y(b(z,^)T/i.; t)]ei}-Tz\ x
JjdVXl)r'...d(ikp)rPl -л |л=а
x pv(z)wl(z)dz. (37)
Уравнения (35), очевидно, линейны относительно моментов аг выше второго
порядка, |г| = 3, . .., N, и нелинейны относительно; моментов первого и
второго порядков, поскольку плотность ид (х) и коэффициенты полиномов
pv{z) и qx{z) зависят от моментов первого и второго порядков, вследствие
чего и коэффициенты Фо,г> Фу. г уравнений (35) зависят от моментов
