Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
364
ГЛ. С. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
6.3.4. Параметризация распределений. Обобщением только что
изложенного метода нормальной аппроксимации распределений являются
различные приближенные методы, основанные на параметризации
распределений. Чтобы пояснить общую идею этих методов, заметим, что
нормальная аппроксимация одномерного распределения по существу
представляет собой приближенное представление характеристической функции
/) и соответст-
вующей плотности f1 (z; /) нормальными характеристической функцией и
плотностью, зависящими от конечного множества параметров-математических
ожиданий, дисперсий и ковариаций компонент вектора состояния системы. Эти
параметры, естественно, зависят от времени t, и метод нормальной
аппроксимации дает обыкновенные дифференциальные уравнения для этих
параметров. Нормальная аппроксимация n-мерного распределения представляет
собой замену соответствующих характеристической функции и плотности
нормальными. Множество параметров, от которых зависит это нормальное
распределение, состоит из математических ожиданий, дисперсий и ковариаций
компонент вектора состояния в данные моменты времени tlt ..., найденных
при определении одномерного распределения, и, кроме того, из взаимных
ковариаций компонент векторов состояния в различные моменты времени.
Каждая из этих ковариаций зависит от двух моментов времени и,
следовательно, определяется двумерным распределением. В соответствии с
этим метод нормальной аппроксимации дает обыкновенное дифференциальное
уравнение для ковариационной функции вектора состояния, рассматриваемой
как функция момента времени t2 при фиксированном моменте А < t2. Таким
образом, метод нормальной аппроксимации основан на замене неизвестных
распределений известными (а именно нормальными), зависящими от конечного
множества неизвестных параметров, и выводе для этих параметров
соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений. Обобщая эту
идею, естественно поставить задачу аппроксимации неизвестных
характеристических функций и плотностей известными функциями, зависящими
от конечного числа неизвестных параметров.
Аппроксимируя одномерную характеристическую функцию яфл;/) и
соответствующую плотность /\(z; /) известными функциями gl(A,; 0), fl (2;
0), зависящими от конечномерного векторного параметра 0, мы сводим задачу
приближенного определения одномерного распределения к выводу из уравнения
(5.38) обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих 0 как
функцию времени t [26]. Это относится и к остальным конечномерным
распределениям. При аппроксимации конечномерных распределений
целесообразно выбирать последовательности функций {g* (7^, ..., 0")}
и {/* (zlt..., z";
6П)}, каждая пара которых зависит от конечномерного векторного параметра
0" так, чтобы при любом п множество параметров, образующих вектор 0",
включало в качестве подмножества
" Г,. !. Л1E ГОД MOM E H T О В
365
множество параметров, образующих вектор 0"_i. Тогда при аппроксимации "-
мерного распределения придется определять только те координаты вектора
0", которые не были определены ранее
при аппроксимации функций gl7 /у, . gn_1, /n_j.
Заметим, что в общем случае функции g*n{%j, . ..,Z";0") и fn (zi. • • ¦.
zn \ аппроксимирующие функции gx . . ., Я";
tu • • •, тп) и fn(z1, . . ., zn; tn), не обязательно сами должны
быть характеристическими функциями и соответствующими плотностями. Они
могут давать хорошее приближение ?"(^1. •••, tx, . . ., tn) и /" (Zj, . .
., zn\ tu . . ., tn) и не будучи характеристическими функциями и
плотностями. Так, например, можно получить хорошее приближение плотностей
f"(zlt ¦ ¦ ., zn; tu . . ., tn) конечными отрезками ортогональных
разложений, которые сами е яеляются плотностями (п. 2.3.1).
Соответствующие отрезки разложений для характеристических функций
gn(hlt . . .,
tu .... /") при этом не будут характеристическими функциями.
В зависимости от того, что представляют собой параметры, от которых
зависят функции f*n{zly . . ., zn\ 0J и . . ., 0"),
аппроксимирующие неизвестные конечномерные плотности /" (zlt -z"; tn)
и характеристические функции gn (Zlt. .. Д"; tu..., tn),
получаются различные приближенные методы решения уравнений § 5.3,
определяющих конечномерные распределения вектора состояния системы Z (О-
Все излагаемые дальше приближенные методы применимы и к системам со
случайно изменяющейся структурой, поскольку, как было показано в п.
5.3.10, математической моделью таких систем служит стохастическое
дифференциальное уравнение Ито вида (7). Все эти методы применимы также
для решения уравнений, определяющих условные конечномерные распределения
такой системы щ^рйзличных структурах, выведенных в п. 5.3.10
6.4.1. Одномерное распределение. Начальные моменты. Предположим, что
параметр 0, от которого зависят функции gl(^;0), fl (z; 0),
аппроксимирующие одномерную характеристическую функцию g1 (X; t) и
соответствующую плотность f1(z; t), представляет собой совокупность
