Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Z(t). После этого можно определить все конечномерные распределения
(приближенно нормальные) процесса Z(t) по формуле (2.20) или (2.21).
Пример 12. В условиях примера 9 уравнение (30) имеет вид dK(h, О-
Решение этого уравнения при начальном условии К (С, t1)=D(t-i) выражается
формулой
362
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
По этой формуле можно вычислить ковариационную функцию процесса Z(t)
после интегрирования уравнений, определяющих его математическое ожидание
m(t) и дисперсию D(t).
Пример 13. В условиях примера 10 уравнение (30) имеет вид
дК(к, tt)_ г 1 + т((*)\ + ф (}~т(Ь)
dt о
[•(.
\ VD{t2)
)
K(h, U).
VD (t2) J
Решение этого уравнения при начальном условии К (П. П)=П(П) выражается
формулой
- 1
I - т(т)
!тГ
Пример 14. Чтобы получить уравнение для ковариационной функции
/Си (П> t2) /С12 (t\, t2)
K21V1, t2) K22(ti, t2)
К (ti, t2) -
процесса Z (t) = [Zi(t) Z2 (0]т в условиях примера 11, представим формулу
для ф21(т, К, t), полученную в примере 11, в виде
ф21(т, Л', 0 =
т2
0
mi
а
К.
Подставив это выражение при / = дК (ti, t2)
dt•>
-t2 в уравнение (30), получим т2 (t2)
. mi(t2) а
¦ К (ti, t2)
или, в скалярной форме
dKn (ti, t2)/dt2 = - т2 (t2) Кц (ti, t2)- mi (t2) K12 (ti, t2), dKi2 (ti,
t2)/dt2 = - C1K12 (/1, t2),
dKzi (ti, t2)/dt2 - - ffi-2 С 2) K2i (ti, t2) - mi (t2) K2i(ti, t2), dK22
(ti, t2)/dt2 - - <xK22 (/1, t2).
Начальные условия для этих уравнений имеют вид Кщ (h, П) = khi (Ч) (А,
1=1, 2). Второе и четвертое уравнения легко интегрируются. Их решения
выражаются формулами
Ki2(ti,t2) = ki2(ti)e-a^-^\ t2 > tu
K22(ti, t2) = k22(ti) e a^z t2 > ti-
Подставив эти выражения соответственно в первое и третье уравнения,
найдем Kn(ii,t2) и K2i(ti,t2). Впрочем, практически удобнее
непосредственно решать дифференциальные уравнения на ЭВМ, вместо того
чтобы производить вычисления по формулам, определяющим их решения.
Само собой разумеется, метод нормальной аппроксимации' так же как и более
точные методы § 6.4-6.7, можно применять для приближенного нахождения
конечномерных распределений и в случае детерминированных систем со
случайными начальными условиями. При этом во всех предыдущих формулах
b{z, t) = 0. Несмотря на то, что в этом случае известны точные решения
уравнений (5.38) и (5.41) (см. § 6.1), этими точными решениями, как
правило, невозможно пользоваться в задачах практики. Поэтому приходится
пользоваться приближенными методами этой главы.
§6.3. НОРМАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 36J
6.3.3. Приближенное определение стационарных процессов в нелинейных
системах. Для приближенного определения характеристик стационарного в
узком смысле процесса в нелинейной стохастической дифференциальной
системе (7) при стационарном белом шуме V также можно применить метод
нормальной аппроксимации. В этом случае a(z,t) - a(z), b(z, t) = b(z),
v(t) = v не зависят от времени t, вследствие чего функции дд и <р2,
определяемые формулами (24) и (25), также не зависят от t.
Для нахождения математического ожидания и ковариационной матрицы значения
стационарного процесса при любом t следует в уравнениях (23) положить т =
О, К - 0. В результате получим уравнения
cf х (т, К) = 0, (f 2 (гп, К) = 0.
Если существуют постоянные вектор т и неотрицательно определенная матрица
К, удовлетворяющие этим уравнениям, и это частное решение уравнений (23)
устойчиво по Ляпунову [52, 48], то можно предположить, что это решение
характеризует стационарный процесс в системе.
В этом случае для определения ковариационной функции k (т) стационарного
процесса следует применить тот же прием, что и в п. 6.2.7. В результате
получим уравнение
= Ф21 (т, К) Д-'/Дт).
Это уравнение при начальном условии k(0) = K определяет ковариационную
функцию стационарного процесса в системе при т > 0. При т<0 k(x)=k(-т)т
(п. 4.1.2).
После нахождения т, К, k (т) все приближенно нормальные конечномерные
распределения стационарного в узком смысле процесса в системе
определяются формулами (2.20) или (2.21).
Следует, однако, иметь в виду, что уравнения (23) приближенные,
вследствие чего уравнения, полученные из (23) при т = 0, К.= 0, могут
иметь требуемые решения и в том случае,, когда стационарного в узком
смысле процесса в системе не существует. Поэтому, применяя метод
нормальной аппроксимации, для нахождения стационарных процессов в
нелинейных стохастических дифференциальных системах, следует соблюдать
осторожность и каждое полученное стационарное решение проверять, учитывая
моменты высших порядков, методами § 6.4-6.6. Примером ситуации такого
рода может служить нелинейная система примера 9. Нетрудно проверить, что
метод нормальной аппроксимации дает в этом случае два стационарных
режима: т = 0,. D = 0 и ш = 0, D = v/6. Однако, применив метод моментов с
учетом моментов до четвертого порядка, убеждаемся в том, что второй
стационарный режим не существует и лишь первое решение соответствует
стационарному в узком смысле процессу в системе.
