Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Ф \(т, D, t) =--т (т2 --3D), фгх (m, D, t)=-3D(m2JrD),
Ф22 (от, D, l)=v (m2 lrD),
ф2 (от, D, t) = - 6D (m2~-D) -j- v (m2 + D) = (v - 6D) (m2-j-D).
Следовательно, уравнения (23) имеют в данном случае вид
m = - m(m2 + 3D), D = (v - 6D) (m2 + D).
Проинтегрировав эти уравнения при начальных условиях m(t(t) = tn0, D
(t0)-Da, полностью определим приближенное нормальное одномерное
распределение процесса Z (t). Полученные уравнения можно также вывести из
первых двух уравнений примера 6 путем замыкания их при помощи формул,
выражающих третий и четвертый моменты через моменты первого и второго
порядков для нормального распределения, и перехода к центральным
моментам.
Пример 10. Для системы, описываемой уравнением
Z = - Ф (ZH-K,
где ф (г) - нелинейная характеристика ограничителя, представленная на
рис. 6, формулы (24) -(27) дают
-Фх (т, D, <)=-
V 2л D
I e-(*-"'>V2Ddz +
- 'J.
I (r)
+ 5 ze-(z~mY!2D dz -{-I ^ e-{z-m)',2Ddz
§6.3. НОРМАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
359'
ф21 (т, D, t)--
V 2л D
I
-I
-'.f
(z- т) е'
dzл-
+ ^ z(z - m) е-(г m)2;-?>dz- l^(z - m)e <г dz
-I I
Ф22 (zrz, D, t)=v.
Для выполнения интегрирования заметим, что интегралы от нормальной
плотности, представляющие собой вероятности попадания нормально
распределенной случайной величины в соответствующие интервалы, выражаются
через функцию Лапласа
х
1
Ф(*) = -I е~и~ 2du
К2я ,!
о
формулой (ТВ, п. 3.6.2) Р
V 2 nD
g-(z-m)2!2D dz _
л / 8 - т \ _ / ct- m
ф(тт)-фЫ5
Остальные интегралы приводятся к интегралам
Р
J не = -(е Р2 2 - е а*!2)
J u2e-"2/2 = - (j nrfe-"2/2 = - (ре-Р2 2_ссе -"2/2) + j g-"2/2=
а а а
= - (Ре"Р2/2 -ай-"2''2)-)- >^2it [Ф (Р) - Ф (а)].
Пользуясь приведенными формулами и принимая во внимание, что Ф (-х) = = -
Ф (а:), Ф(оо) -1/2 (ТВ, п. 3.6.2), находим
ф! (т, D, /) =
(1+т)
' D
exp
Ф21 (т, D, t) = - D
+ У 2^
(1+п\+ф(!=2\
(I - m)2
2 D
.l_expi-^±^Ul Г exP I 2D /J'
Ф
(Vb)+°(lrB)_
Уравнения (23) в этом случае имеют вид
,,+">ф(т1)-('-",ф(ф?)]+
т =-
+
D_
2л
ехр<-,^^11-ехо/
D=~2D
•№)+ф(т?)
2D
2D
+ V.
360
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Пример 11. Для системы с двумерным пространством состояний, описываемой
уравнениями
U=- Z{Z,, Z2= - aZ2 + kV,
матрицы а (г, t) и Ь(г, /) определяются формулами
Имея в виду, что все центральные моменты нечетных порядков для
нормального распределения равны нулю, находим
6.3.2. Многомерные распределения. Совершенно так же находятся
нормальные аппроксимации всех остальных конечномерных распределений
процесса Z(t). Так как нормальное распределение полностью определяется
моментами первого и второго порядков (п. 2.2.8), а последние определяются
двумерным распределением, то достаточно найти нормальное приближение
двумерной характеристической функции ^ (^и tu t2). Для этого достаточно в
свою очередь найти ковариационную функцию К (tlt t2) процесса Z (/)
(математическое ожидание и ковариационная матрица его значения при любом
t определяются уравнениями (23)).
" формулы (24) - (27) дают
vz.z.zl z.z.zl
* -Y rj 7O rj 7O *
ctZ^Zi CLZ2Z2
M f/ZzZi - &12, MNZ2z\ = k.l2
-и, следовательно,
>и
ф2(m, K, t)=<p21(m, K, t) + <$2i(m, К, 0T + Ф22 (m. Л\ t) =
__ Г - 2 (от2/гц -}- m\_k12) - (m2-j- a) kvl - ш^22
L-(m2 - a) k12 -m1k22 vk2- 2ak22
[
Таким образом, уравнения (23) имеют в данном случае вид
§6.3. НОРМАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 35J
> Чтобы получить уравнение для К (Ч> С)> достаточно приближенно вычислить
математическое ожидание в (29), заменив неизвестное двумерное
распределение процесса Z(t) нормальны:,:. В результате получим
дК((и t2)ldt2 = MN[Zi-m{tl)\a{Zu, /2)т, . (29)
где индекс N у математического ожидания означает, что оно вычисляется для
нормального совместного распределения величин Z1x и Z#2. Для вычисления
этого математического ожидания применим формулу полного математического
ожидания - сначала вычислим условное математическое ожидание относительно
Z, " а потом вычислим математическое ожидание полученной функции величины
Zfj (ТВ, п. 4.3.3). Тогда, пользуясь известной формулой для условного
математического ожидания части компонент случайного вектора относительно
остальных компонент (формула (2) приложения 3), получим
М у [Zti - т (/у)] a (Zf2, t2)T = MN {M v [Z#i | ZtJ - m (/,)} a (Zfj,
t.zf ^ = /C(4, Aiy [zu-m(t.2)\a(Zu, t2)T.
Но на основании (26)
MN{ZU-.m(t2)]a(Zu, /!)T = cfa(m(/2), K(t.:), t2f.
Следовательно,
- m(4)] a(Zu, t2y = K(t1, C)^"1(C>)t2i(w(/'2), K(t2), t2y-
Подставив это выражение в (29), получим приближенное уравнение для
ковариационной функции процесса Z(t):
дК (ti, t2)/dt.. = K(ii, 6>)^(Cr42i(^(C), K(t2), t.yy. <4 (30>
Это уравнение при любом фиксированном Д представляет собой обыкновенное
линейное дифференциальное уравнение, определяющее K(ti, t2) как функцию
t.,, С < С, при начальном условии К (Д, Д)=Ж(Д).
Уравнения (23) и (30) определяют последовательно математическое ожидание
m(t), функцию К (t, t) = K(t) и ковариационную функцию K(ilt С) процесса
