Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
моменты высших порядков одномерного распределения стационарного процесса
в системе. Для этого следует положить в уравнениях п. 6.2.6 для
моментов вектора состояния
ал = 0 (ki. ..., k" - 0, 1, 2, ...; |/г| = 1, 2, ...).
Конечномерные распределения стационарного в узком смысле процесса в
системе можно найти общим методом п. 5.3.10.
Следует заметить, что стационарный в широком смысле процесс в линейной
системе с параметрическими шумами физически может существовать только
тогда, когда системы, описываемые детерминированными уравнениями (20) и
(22), устойчивы. Однако это условие в общем случае недостаточно для
существования стационарного в узком смысле процесса в системе.
ГЛ 6 НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 6.3. Нормальная аппроксимация конечномерных распределений вектора
состояния
6.3.1. Одномерное распределение. В общем случае точное решение
уравнений § 5.3, определяющих конечномерные распределения вектора
состояния системы, невозможно. Простейшим приближенным методом нахождения
конечномерных распределений вектора состояния нелинейной системы является
метод аппроксимации распределения состояния системы нормальным
распределением. Этот метод был предложен впервые в [55].
Ясно, что чем ближе система к линейной, тем точнее будут расчеты методом
нормальной аппроксимации. Однако, как показывает опыт практического
применения этого метода, он может давать хорошие результаты и для
существенно нелинейных систем.
> Аппроксимируя одномерное распределение процесса Z (t) нормальным, будем
иметь
где т и К-неизвестные математическое ожидание и ковариационная матрица
вектора состояния системы Z.
Вычислив математические ожидания в (8) и (13) для нормального
распределения N (т, К) *), получим обыкновенные дифференциальные
уравнения, приближенно определяющие т и К'-
g1 (а; /) " ехр jiT/n-у ХТЛ7,|,
Mz; [(2я)р | К |]~1/2 ехр |(zT - /?;т) К~г (z - т)
т = Ф1(ш, ft, t), К = у-Лт, К, t),
(23)
где
Фт(tn, К, t) = MNa(Z, t) =
CC
У(2п)Р\К\
J a (z, |-яу(гТ-tn1)K~1(z-m)\az, (24)
Ф 2(m, К, ~~ Ф21 (m, К, Ол-Ф 2i(m, K, ty - q.2L(m,K, t), (25)
Ф21(т, К, t) = MNa(Z, t) (ZT - /nT) =
I
- 00
(26)
*) Через N (m, К) обозначается нормальное распределение с математическим
ожиданием т и ковариационной матрицей К (ТВ, п. 4.4.-3).
§6.3. НОРМАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
35?
фм(т, К, t) = Myb(Z, t)x (t) b (Z, ty =
cc
= - A¦ l-=r Г b(z, t)x(t)b(z, tyx } (2л) p | A' | J
- oo
xexp j-у (zT - tnT)K~1(z- m) j dz, (27)
а индекс N у знака хматематического ожидания означает, что оно
вычисляется для нормального распределения N (т, К) величины Z.
В частном случае единичной матрицы b(z, t), b(z, i) = I, Ф2, (m, К, t) =
v(t). В этом случае изложенный метод приближенного определения моментов т
и К дает те же уравнения,
что и метод статистической линеаризации И. Е. Казакова
[31-33, 70]. Действительно, метод статистической линеаризации основан на
приближенной формуле
а (г, г1) -Фо-r^i (z-m), (28)
где ф0 и ku определяемые из условия минимума средней квадратической
ошибки при допущении о нормальности распределения Z, даются формулами ф0
= ф!(т, К, t) и == ф21(т, К, t) К~г (см. ТВ, пример 9.2). Заменив функцию
a(z, t) полученной линейной функцией г, приведем уравнение (7) в случае
b(z, t) = I к линейному стохастическому дифференциальному уравнению
Z = Ф0 + К {Z-m) -f V.
Уравнения (5.26) и (5.28) дадут в этом случае следующие приближенные
уравнения для т и К'
т = ф0, k = KK - Kk\ + x.
Подставив сюда найденные значения ф0 и klt убеждаемся в том,, что эти
уравнения совпадают с (23) при ф22 (tn, К, t) = v.
Для практического применения метода статистической линеаризации
составлены таблицы формул для ф0 н kx - [(д/дт) фо]т для типовых
скалярных и векторных нелинейных функций [33, 53]. В приложении 5
приведены формулы для ф0 для некоторых характеристических нелинейных
функций. Этими формулами можно пользоваться непосредственно для
определения функций
Ф1(т, К, t) = ф0, фц(т, К, t) = КК = [(д/дт) ф5]т К
при составлении уравнений (23) метода нормальной аппроксимации. Этими
формулами можно пользоваться и для определения функции ф22(т, К, t), так
как согласно (27) она представляет собой одно первое слагаемое в формуле
вида (28) для статистически линеаризованной функции b(Z, i)v(i)b(Z, t)T.
358 гл. fi. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Пример 9. Рассмотрим систему, описываемую стохастическим диф"
ференциальным уравнением
Z==- Z3 + ZK.
В данном случае a (z, t)~--г3, b (г, t)-z и формулы (24) - (27) дают
оо
Фх (от, D, г)- Г г%_(г_т)2/2° dz,
V 2nD J
- GO СО
f2i (tn, D, t) = . ' j" z3 (z - m) !-D dz,
- CO
CO
Ф22 (tn, D, t)--Г г2е_(г_'"!)2, 2?) rfz.
V 2л D J - 00
Выполнив интегрирование с учетом того, что
z2 = m2 + 2m (z - m)-|-(z - от)2,
z3 = от3 4- 3m2 (z - m) -f- 3m (z - m)2 -j- (z - m)3
и что центральные моменты нечетных порядков для нормального распределения
равны нулю, а центральный момент четверт?го порядка для одномерного
нормального распределения равен 3D2, получим
