Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
- MZ.ii;, м ь0 4- 2 buzh 1 v; ы + 2 4zh I
\ h= i /'V * = i
Раскрыв скобки, получим Г :Л Гат + - mal + bavbT0 -р
-4 2 {bh\bl-'г b0vbl) MZh + 2 bhvb\MZh zt,
h=1 ft,/=1
или
Г = аГ - Гат -г a"ni* - тйо ~г b0\b% -f-
-2 {Ь^Ы-\-Ьл\Ь1)т"+ 2 bhvb]yhl. (21)
ft = 1 h, 1= 1
Это уравнение не содержит никаких характеристик случайного вектора Z,
кроме его математического ожидания и вторых моментов (элементов матрицы
Г). Следовательно, после интегрирования уравнения (20), определяющего
математическое ожидание т вектора Z, уравнение (21) при начальном условии
Г(^0) = Г0 (и, следовательно, у,и (/") = у"г) полностью определяет момент
второго порядка Г(/) вектора Z(t).
Совершенно так же приводим уравнение (13) к виду
р
К = аК -- КаТ Ь"\'ЬТ0- 2 (bh\'bl - b 0\Ь]г) mh
h=l
+ 2 bhvbj {mhml -r khl), (22)
ft, i= l
где khl - ковариация компонент Zh и Zz вектора Z (h, 1= 1, ...,/?).
Уравнение (22) при начальном условии K(t0) = K0 (kpq (t0) - k°pq)
полностью определяет ковариационную матрицу К (t) вектора Z(t) в любой
момент времени t после нахождения его математического ожидания т.
Таким образом, если при исследовании точности линейной системы с
параметрическими шумами можно ограничиться моментами первого и второго
порядков вектора состояния и выходного сигнала, то эти моменты можно
точно определить последовательным интегрированием уравнений (20) и (21)
или (20) и (22) совершенно так же, как в случае линейной системы.
Формула (16) дает для линейной системы с параметрическими шумами
уравнение (5.31) для ковариационной функции процесса
354 ГЛ. 6- НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Z (/) При t2 > (у!
= t*_) а (/")*.
Начальное условие для этого уравнения имеет вид К (tu tt)=K (Ч) В случае
нормально распределенного белого шума V в (19) моменты вектора состояния
Z системы определяются бесконечной системой уравнений (18), которая в
этом случае разделяется
на независимые системы уравнений для моментов каждого дан-
ного порядка:
р ' р
ак 2 kr \ Qr 0ак-е, ~Г 2 ar, eaak-ea-
г= I \ Я- 1 4 1
J р / р
Ту 0 ( @Гг, 0ak-2er Т (r)гг. е !~J-k +е п-^е г
г = 1 ' 1?= 1
Р \ Р Р-I /
Т 2 ^гг, еа +еи^к +еа +еи-2е. JT 2 2 ^r^s\ ^rs, o^k - er - e ч
Я, и= 1 4 " 4 " Ру r = 2s=l \
Р Р ^
Т^2 eJX-k + eq-ef-es + ^ 2 ] a/-J, е q +euak + eq + ea-er-es J
(ku ..., kp = 0, 1, 2, 1*1= 1, 2, ...).
Здесь, как и в (17) и (18), величина а, равна нулю, если хотя бы одна
компонента векторного индекса s отрицательна, и равна единице, если все
компоненты векторного индекса s равны нулю.
Что касается уравнения (5.38), определяющего одномерную
характеристическую функцию процесса Z(i), то согласно результатам п.
5.3.9 оно представляет собой в случае нормального белого шума V линейное
уравнение в частных производных второго порядка, которое невозможно точно
проинтегрировать в общем случае. Поэтому распределения вектора состояния
и выходного сигнала линейной системы с параметрическими шумами можно
найти практически только путем приближенного решения уравнения (5.38),
как и для других классов нелинейных систем. Пример 8. В'-елучае скалярных
Z и V уравнение (19) имеет вид
Z = aZ -f- а0 -(- (&о 3- b±Z) V .
При этом уравнение (20) имеет тот же вид, что и в случае векторных Z-V, а
уравнения (21) и (22) для второго начального момента а2 = Г и дисперсии D
= K процесса Z принимают вид
а2 = (2а ~~ b\\) а2-|-2 (а0+ Ь0Ь\у) т-\-ЬЪ\',
D - (2а -)- b\ v) D -j- 2b0 Ъ-^ут + b\vm2 bov.
При нормально распределенном белом шуме V можно получить также точные
уравнения Для моментов высших порядков. Эти уравнения имеют вид
k {k - 1) bi V^j ctfc -f- k [Щ -{- (? - 1) Ь$ЬуХ\ 1
-\r^k {к - 1) bl vas_2 (* = 3, 4, ...).
§6.2. МОМЕНТЫ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 355
6.2.7. Стационарные процессы в линейных системах с параметрическими
шумами. Рассмотрим стационарную линейную систему (19) со стационарными
параметрическими шумами. В этом случае а, а0, ba, bh и v постоянны.
Поэтому, положив в (20) и (22) т = 0, К - 0, получим алгебраические
уравнения для математического ожидания и элементов ковариационной матрицы
значения стационарного процесса в системе в любой момент i:
am + a0 = 0, р р
аК - Ка1 + b0vbT0 + 2 iph\bl -f ba\bl)mh + 2 bhvbj (mhml+khl) = 0.
h- i h, 1 = 1
Для нахождения ковариационной функции стационарного процесса k(x), т =
- напишем общее уравнение для кова-
риационной функции
dK{'td\\'!)=K{t1, t.2)aT при U>tv.
Отсюда, пользуясь свойством ковариационной функции К (Д, О) = = К (О, Д)т
и транспонируя полученное уравнение, будем иметь
дК (Д, ti) is ,, . , , . ,
-g- - = aK (Д, ti) при ti<t2.
Поменяв в этом уравнении Д и Д местами, положив после этого t2 = i, Д = /
-j- т и фиксируя Д придем к уравнению для ковариационной функции
стационарного процесса в системе:
Это уравнение при начальном условии k(0) = К определяет ковариационную
функцию стационарного процесса в системе при т > 0. При т < 0
ковариационная функция определяется формулой k(x) = k(-т)т (п. 4.1.2).
В случае нормально распределенного белого шума V можно также определить
