Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
функцию b(t) в состав белого шума V*), перепишем уравнение (5.58) в виде
%- = 2i7v L "V, ттттг,-"'г'У.0-- Ogi-
01 r = i h, Лр= о д(Оп) h...d(ilp) р
Дифференцируя это уравнение /г3 раз по Д1( k., раз по iX.,, . . . , kp
раз по iXp и положив после этого л = 0, получим
р N
ак, kp - 2 kr 2. ar. А, А_ аА, + >; hr + kr - l Ар + Ар +
* г~ 1 fti, ..., ft =. О *
ft
+ 2 • • ¦ 2 Ck\. . ,Скруф Л аА, ,2 , h
h,= О Лр=° Р
(^ii • • • > 1 > 2, . ..; -f- . .. -ф /г = 1, 2, ..
.),
где
Xftj, ...> hp
h i ~h ... ¦+• h
d p X (к t)
_ d (a,)''1. . .d{ikp)hp
Полученные уравнения можно записать компактнее, пользуясь векторными
индексами ? = . . Дя]т, h = [hx. . .Л^]т:
ft
2 2 ar,hah + k-er+ i ¦¦¦ 2 • .ChkPXhak_h /17v
r- 1 h"...,h- 0 A,=0 A =0 p ' >
(^i, - • • > = 0. 1)2,...; | | = k1 . . . 4- = 1, 2, . . .),
где er - вектор, все компоненты которого равны нулю, кроме г-ii, равной
единице:
ег = [0. . .0 1 0. . .0]т,
^^ г
afc ..., kpi ar,h ar, hhpi Xh Xht, hp-
В п. 6.2.2 было показано, что %Л=0 при | h | = hr + . . . + hp < 2, %h =
vrs ПРИ ^ = er + es**)- (r) уравнениях (17) величина a.s равна нулю, если
хотя бы одна компонента векторного индекса s отри-
*) Это не ведет к потере общности, так как произведение Ь (/) V
представляет собой белый шум, интенсивность которого vt (/) выражается
через интенсивность v(^) белого шума V формулой (f) =b (t) v (t) b (ty.
**) Если в белый шум в (7) включен множитель b (/), то интенсивность v
заменяется произведением v1 = 6v6T и величины у/, при h = er-{-es равны
соответствующим элементам матрицы v1 = Av5T.
§ б.?. МОМЕНТЫ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
351
цательна, и равна единице, если все компоненты векторного индекса s равны
нулю, ал=\.
При выводе уравнений (17), дифференцируя произведения, мы воспользовались
известной формулой
k
дк
¦ UV ¦
дМк h= о
Уравнения (17) были впервые получены в [55]. В частном случае линейного
уравнения (7) ar> ^ т h = 0 при h^-y . . . -\-hv > 1 и уравнения (17) при
kx -f- . ¦¦. + kp = 1, 2 совпадают с уравнениями для моментов первого и
второго порядков, вытекающими из уравнений § 5.2, выведенных при более
общих предположениях о белом шуме V'.
Совершенно так же выводится бесконечная система уравнений для моментов в
случае п. 5.3.9, когда функции а (г, t) и b(z, t)v(t)b(z, ty представляют
собой полиномы относительно г, а белый шум V распределен нормально.
> Представив координаты вектора a(z, t) и элементы матрицы а (г, t) =
b(z, t)v(t)b(z, ty в явной форме полиномов
N
ar(z, t)= 2 ar,h , z^.-.z^p (г = 1, . . ., р),
ft" ...,h =0 Р Р
N
0= 2 <*rs, Л" ....A nZl- ¦ -ty (г, S=l, Р)
ft, ft =0 р р
Р
с коэффициентами, в общем случае зависящими от времени t" перепишем
уравнение в частных производных (5.59) в виде
Р N
е'=Е"т, У " а
Qt 1 г "ft, Л,, .... ftp"
• ¦ V -
N ft
r = i ft, ft" = о d {iXx) 1.. .d{ikp) p
1 V1 w-л ч У'' d p gi
-r-o- ^ I'MUV ^ ars,h1 ftp Г . ft •
r,s=i ft, ^=1 '¦¦¦d(iXp) P
Дифференцируя это уравнение kx раз no iXlt k2 раз по iL,,
...
¦ ¦.,kp раз по iXp и положив после этого Я = 0, получим
р Л'
.... к0=ЪК 2 аг, Л" .... ЛраЛ, + *,, .... hr+kr- 1 fto + ftp 7"
Р --=1 ft,..........ft^ = o Р ¦
^ р JV
'2 21 kri^r 0 El (r)rr, ft,.ftpaft, + ft,, .... ftp + ftp-2, .... ftp
4-ftp T
r = 1 hit .... h - 0
я
p r - I Л'
+ 2 2 2 °>s, ....Лрх
r = 1 s = 1 ft,......ft =0
p
(ku . . ., kp - 0, 1, 2, . . .; &!+... -f- kp - 1, 2, . . .).
352
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Эти уравнения также можно переписать в компактной форме, пользуясь
векторными индексами:
р Д'
ак~ 2 2 ar, h a!i ¦ к-ег "С
r--.l h, h -0
P Л'
2, °rr.h аЬ---к-2ег --г = 1 /г,. . /1=0
р г - 1 /V
2 2 ^rSi 7z ^Vz-rfc -
r - 1 s - 1 'пл, h =0 ^ = 0, 1, 2, |*| = 1, 2, ...). (18)
В этих уравнениях, так же как в (17), величина as равна нулю, если хотя
бы одна компонента векторного индекса s отрицательна, и равна единице,
если все компоненты векторного индекса s равны нулю, а0 = 1.
П р имер 6. Для системы примера 2,
Z-- - Z3 + ZV,
уравнения (18) имеют вид
V
ак = - как + 2 -у к (к- 1) ак (/г - 1, 2,
П р и м е р 7. Для системы
Z1 =.-Z{Z2, Z2 - - aZ2JrkV
уравнения (17) имеют вид
аЛ, =•-гаГ, s+i - saars rk-\'s(s-1) аг. $_а/2 (г, s~ 0, 1, 2, ...).
6.2.6. Линейные системы с параметрическими шумами. Вектор состояния
линейной системы с параметрическими белыми шумами определяется уравнением
(п. 1.4.4)
Z ul ^ 2 fcAZftV. (19)
Ч /. = 1
Таким образом, (функции а (г, /) и b(z, t) в (7) определяются в этом
случае формулами
а (г, 1) = а (/)г-уа0(/), ft (г, /) Ь" (/) Ч- 2 ьн (0гл-
h = 1
> Уравнение (8) в этом случае имеет вид
//г = am -j- а0. (20)
Это уравнение совпадает с уравнением (5.26) для линейного относительно Z,
У уравнения. Оно полностью определяет матема-
"6 2. МОМЕНТЫ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 353
тическое ожидание вектора Z при соответствующем начальном условии т (t0)
=т0.
Уравнение (12) в этом случае имеет вид
Г = aMZZT + a0MZr - MZZraT +
/ р \ р \
