Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
уравнениями, определяющими моменты т и Г. Так, например, в случае
линейной относительно г функции а (г, t) и не зависящей от г функции b(z,
t),
а (г, t) = a(i)z~a9{t), b{z, t) = b(t),
(8) и (12) представляют собой уравнения, определяющие по отдельности
математическое ожидание т и момент второго порядка Г процесса Z(t). Эти
уравнения, конечно, совпадают с уравнениями (5.26) и (5.30), полученными
для более общего случая, когда № (/) представляет собой процесс с
некоррелированными (не обязательно независимыми) приращениями.
348
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
6.2.3. Формула для производной ковариационной матрицы. Из
формул (10) и (12) легко выводится формула для производной по времени
ковариационной матрицы К вектора Z.
> Чтобы получить эту формулу, достаточно продифференцировать по t
соотношение (ТВ, п. 3.3.1)
/С = Г - тпТ
и подставить в полученную формулу выражения m и Г из (8) и (12). В
результате получим
R = M{a(Z, t) (ZT - tnx) - г(Z - m) a (Z,
4 b(Z, t)v(t)b(Z, 0T}- < (13)
Пример 2. Для системы, описываемой уравнением
Z = - Z3 + ZU,
формулы (8), (12) и (13) имеют вид
/н - - MZ3, ot2 - -2MZ4-|-vou,
D -2/WZ4 у 4mM2? -f v (m2 + D)
(в данном случае процесс Z (/)- скалярный и, следовательно, Г и К пред"
ставляют собой соответственно начальный момент второго порядка ct2 (О и
дисперсию ?> (/) значения процесса Z (/) в момент /). Правые части этих
формул зависят от моментов третьего и четвертого порядков процесса Z ((),
и, следовательно, эти формулы не являются уравнениями, определяющими т,
а2 и Z). Попытки замкнуть эти уравнения добавлением уравнений для
моментов третьего и четвертого порядков приведут к появлению моментов
пятого и шестого порядков и т. д. Следовательно, подобные попытки не
приведут к замкнутой системе конечного числа уравнений.
Пример 3. Для рассмотренной в примере 5.15 системы, описываемой
уравнением
Z aZ гав- ЬУ Z 1 . формулы (8), (12) и (13) дают
in - am ;-а0, а2 - 2 (аа2 ~ао'п) Д b2vm, D = 2аП + ?>2vm.
Это обыкновенные дифференциальные уравнения, определяющие последовательно
моменты /и, а2 и D при данных начальных условиях m(la)=mn, a2(fo) = "2o.
П(/о) = Ч0 = а20 -mo-
^-6.2.4. Формулы для производных момента второго порядка и ковариационной
функции. Для дальнейшего нам понадобятся еще формулы для производных
момента второго порядка Г (f,, t2) и ковариационной функции К (Д, t2)
процесса Z (/) по второму аргументу t2 при t1 < Д. Их, конечно, можно
вывести таким же путем, дифференцируя уравнение (5.41) при п = 2 по
векторам iXr и iTi, и полагая после этого \ = Z2 = 0. Однако гораздо
проще вывести их непосредственно из стохастического дифференциального
уравнения (7).
> Заменив в (7) переменную t переменной /2> получим
Zl.=a(Zu, t2)~Tb(Zti, t2)Vt,
$ в.-2. МОМЕНТЫ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 349
Транспонируя это уравнение, будем иметь
Zl = a(Zta, Ly~ Vjb(Zti, f,y. (14)
Умножим это уравнение слева на Z1 н возьмем математические ожидания обеих
частей полученного равенства. Тогда, учитывая, что при П < б, составной
случайный вектор [Zj Z]]T и значение Vu белого шума V в момент t.,
независимы, придем к формуле
MZU Z}3 = MZta(Zu, t,)T
или
г)Г(/], ti)/dt., = MZtta{Zti, /2)г. (15)
Совершенно так же, умножив (14) слева на Zt -mt и приняв во внимание, что
•м (zt, - mt) = -W (z<, - mt) (ZI - m\) = К (/" /-),
придем при tx < t2 к формуле
дК((г, t2)/dt., = M(Zti - mt)a(Zu, t2)T. 4 (16)
Пример 4. Для системы примера 2 формулы (15) и (16) имеют вид дГ(/"
t2)/dt2^-MZttZ3tt, 0K(tu t-i)jdt2 - - M (Zti - ть) ?t,. Пример 5. Для
системы примера 3 формулы (15) и (16) имеют вид <ЭГ (П- t2)/dl2
^a(t2)V(tu t2), дК (tx, i2)!dt2--a(t2)K(tx, t2).
Эти формулы представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения
при любом фиксированном 1Х. Вместе с начальными условиями Г(П, П)-аа(П),
K(t\, tx)~D(tt) они вполне определяют момент второго порядка Г (6, О и
ковариационную функцию К (tx, t2) процесса Z (t) при tx < t2.
\
Г(/а, t2) = а2 (П) ехр | С а (т) dx [¦,
С, J
(h 4
К (Д, t2) .= D(ix) exp j ) a (x) dx }¦.
U, )
6.2.5. Бесконечная система уравнений для моментов. В случае пп. 5.3.8
и 5.3.9, в которых уравнения для характеристических функций сводятся к
линейным уравнениям в частных производных, можно получить бесконечную
систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, определяющую
все моменты одномерного распределения вектора состояния системы.
> Предположим, что функция а (г, /) в уравнении (7) представляет собой
полином относительно г, а функция b(z, t) = b(t) не зависит от 2. В этом
случае, как было показано в п. 5.3.8, одномерная характеристическая
функция процесса Z(t) определяется уравнением в частных производных
(5.58). Представив
350
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
компоненты вектора a(z, t) в явной форме полиномов
N
а,-(г> 0= 2 я,,*,...hpzhK..zhpP (r = \,...,p)
h' hP=°
с коэффициентами, в общем случае зависящими от времени /, и включив
