Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ф(/, 20)^-^-.
V 1 - 2z\t
Обратная функция и ее производная определяются формулами
z)~TT=&-r чгЖгщтд-дт "рн |г| :7?'.
Вне интервала (-(2/)~12, (2/)~1/2) обратная функция не определена.
Поэтому (5) и (6) дают
h (г; /) --=/,) (-д-г ^ - ^ -- при | г | <
1
}Л - 2г2/ / (1- 2г'-03/'2 V 2t
[ ti [Z1" 2fl, /j, t ii) ~-
=-,o, 77=^= ^ ^г2
Kl-2г|/, / ('-¦2zi/i)3 2 V К 1л-2г?(^ -n)
... S (z
О \
К 1+2г?(/" -
при | г, [ < | z" | }= (rt- 2, 3, ...).
Г ^1 Г
Вне указанных областей
/г (г; I)-- 0, /п(гъ ..., г"; i1 ?п)=0.
Заметим, что если удается найти какие-либо первые интегралы системы
уравнений (1), то распределения этих первых интегралов определяются по
данному начальному распределению вектора состояния системы методами
нахождения распределений функций случайных величин (ТВ, гл. 5).
s б..1. МОМЕНТЫ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 345
§ 6.2. Моменты вектора состояния нелинейной системы
6.2.1. Формула для производной математического ожидания.
> Чтобы получить формулу для производной по времени математического
ожидания вектора состояния системы, проще всего перейти к математическим
ожиданиям непосредственно в стохастическом дифференциальном уравнении
Z = a(Z, t)Jrb(Z, t)V. (?)
Тогда, имея в виду, что в уравнении Ито значение процесса Z (?) при любом
? не зависит от значения белого шума V' в тот же момент (точнее, Z(t) и
AW - W (? -)- At) - W (?) независимы при любом ?), получим следующую
формулу для производной по времени математического ожидания m(t) - MZ{t)
процесса Z(t) *):
m = Ma(Z, ?). М (8)
Эта формула не является замкнутым уравнением, определяющим математическое
ожидание процесса Z(t), так как математическое ожидание в правой части
зависит от неизвестного одномерного распределения процесса Z(t).
В следующем пункте при выводе формулы для производной по времени момента
второго порядка вектора состояния системы мы попутно получим формулу (8)
другим путем.
6.2.2. Формула для производной момента второго порядка. Из уравнения
(5.38) для одномерной характеристической функции можно вывести формулы
для производных по времени моментов различных порядков вектора состояния
системы в любой момент времени ?. Чтобы вывести эти формулы, перепишем
уравнение (5.38) в скалярной форме:
°8лр ° = М {i У, V/* (2. О + г (и; t) I ехр j i V ).hZh [, (9)
1 \ /z= 1 J у h= I )
где li - вектор с компонентами
!Ч== 2 bsr(Z, t)K (r=l, q).
*) Везде в гл. 6 для простоты будем считать, что MW (i)~mw(t) ^зО. Это
практически не ограничивает общности, так как для дифференцируемой
функции mw (?) величину b (Z, /) dm.w (?) = b (Z, t) mw(t)dt можно
включать в a(Z, t) dt.
346
ГЛ . 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
> Дифференцируя уравнение (9) по ihk, а потом по iklt получим
Для нахождения входящих в эти формулы производных функции х
продифференцируем сначала по i\ir, а потом по формулу (5.37):
где /гх(р; /) - одномерная характеристическая функция процесса
дх (р; () _ д 1 dhi (р; t) д dt /ц (ц; t) d(ijxr) '
д2Х (Ц; t) __ д 1____________d2hx (ц; t) ^ д 1 dhx (ц: t)
дкг (ц; t)
д (фг) д (ф5) ~дТ /ц (р; t) д (щг) д (t>s) W hДц; t) d{i\ir) 3(i[is)
Нолбжив |i = 0 и вспомнив, что hx(0; = а величины
представляют собой соответственно математическое ожидание компоненты
Wr(i) и взаимный начальный момент второго порядка компонент Wr(t) и Ws(t)
процесса W (/) в данный момент t {ТВ, п. 4.5.1 и 4.5.3), будем иметь
Q
Р
(И)
х(ц; 0 = -^- InMp; 0.
W(t) = [ Vxdx. В результате получим
о
dhx (ц; t) I
д(ФД J и = о '
д-hx (ц; t) \ d (ip,,.) d(iHs) Ju=o
dyj^jy
д(Щг) J Ц = о
d2x(n; t) -
= ±MWr{t) = 0, = A-MWr{t) Ws(t) = k(tm)(0-
d(i\ir)d(Ws) Jm=o
§6.2. МОМЕНТЫ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 347
Наконец, учитывая, что
t
k% (t) = k% (/") -f 5 (т) cIt,
to
находим
д*г (ц; 0 1 = ,л
? (i>r) d (tu*) Jn = o rs К h
Положив в (10) и (11) ?1 = 0 и, следовательно, ц = 0, пользуясь
найденными выражениями d/jd(i\ir) и d2%/d(inr)d(ins) при ц = 0 и
учитывая, что у(0; /) = 0, получим следующие выражения для производных по
времени математического ожидания mk(t) компоненты Zk(t) и взаимного
начального момента второго порядка ykl (t) компонент Zk{t) и Zt(t)
процесса Z (/):
тк = Мак (Z, t) (fe = 1, . . ., р),
Ук1 - ^'yai{Z, t) Zk-f- ak(Z, t)ZlJ-
+ 5! vrs(t)bkr(Z, t)bis(Z, t)\ (k, 1 = 1, . . .,
p).
r, S=1 I
Переписав эти формулы в матричной форме, получим формулу (8) для
производной по времени вектора математического ожидания т (^) и формулу
для производной по времени начального момента второго порядка Г (^)
процесса Z (t):
Г = М (a (Z, /)ZT -j-Za (Z, t)T + b(Z, t)v(t)b(Z, /)т}. A (12)
Формулы (8) и (12) в общем случае не являются замкнутыми уравнениями для
т и Г, так как правые части их зависят от одномерного распределения
процесса Z (t), а не только от tn и Г. И лишь в некоторых частных случаях
правые части формул (8) и (12) могут оказаться функциями т и Г, не
зависящими от других характеристик одномерного распределения процесса Z
(t). В таких случаях (8) и (12) будут обыкновенными дифференциальными
