Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
00
= J g^n.i>T...+ (" = 1, 2, . . .). <" (3)
- со
Легко проверить непосредственной подстановкой с учетом того, что функция
ф(П?) удовлетворяет уравнению (1) при любом ?, и с использованием
интеграла Фурье, что функция gy(?.; t), определяемая формулой (2),
удовлетворяет интегродиф-
342 ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
ференциальному уравнению (5.46), а функция gn(K, ¦¦¦,
/и ..., /"), определяемая формулой (3), удовлетворяет уравнению (5.47).
6.1.2. Решение уравнений для характеристических функций.
К формулам (2) и (3) нетрудно прийти и непосредственным решением
уравнений (5.46) и (5.47). Для этого достаточно вспомнить, что согласно
(5.37)
% (0; /) = | in МО; 0-0
(h1 (0; 0 = 1 в силу известного свойства характеристических функций, ТВ,
п. 4.5.1), и искать решение уравнения (5.46) при b (Z, t) = 0 в форме
интеграла [55]
00
gl(K 0= S cc(?)e-W,t>^
• 00
с неопределенными функциями а(?) и ш(/, ?). Определив со(/, ?) так, чтобы
удовлетворялось уравнение (5.46), а а(?) из начального условия (5.39),
получим "(/, ?) = ф(1, ?)> а(0 - /о (?)• В результате получится формула
(2) для gy (?.; 0- Точно так же, отыскивая решение уравнения (5.47) при
b(Z, 0 = 0 в форме интеграла
g"(Ai. •••. >¦"; 0, .... 0)= S "(S) с>+* * ¦ С) rfg,
- со
найдем из уравнения (5.47) со (0 ?) = Ф (0 ?). а из начального условия
(5.42) а (?) = /"(?). В результате получится формула (3).
6.1.3. Определение одномерной плотности. Определив по формулам (2) и (3)
характеристические функции, можно по обычной формуле обращения (ТВ, п.
4.5.2) найти конечномерные плотности процесса Z(t). Впрочем,
конечномерные плотности процесса Z(t) можно найти и непосредственным
применением формул для плотности функций случайных величин (ТВ, § 5.3).
-> Чтобы найти одномерную плотность /х(г; t) процесса Z(t), заметим, что
значение решения дифференциального уравнения связано с его начальным
значением взаимно однозначной зависимостью. Для того чтобы убедиться в
этом, напишем уравнение и начальное условие, определяющие функцию ср
(?,?)'¦
Ф (U ?) = а (ф (t, I), t), ср (t0, & = ?,.
Дифференцируя это уравнение и начальное условие по параметру ?, будем
иметь
jt Фе (U 0 = av (ф (t, I), t) ф? (t, I), 4>z(t0,Q = I, (4)
§6.1. СИСТЕМЫ БЕЗ ШУМОВ
343
где
¦;(Л ?) =
- <?<Р1 5ф1 -
¦ ' д1р
"ф (ф, 0 ^
дур
Г da 1 dai '
5ф1 дфп
дар 1
<?ф1 Зфр ^
- матрицы первых производных компонент векторных функций Ф (t, с) и о(ф,
t) по компонентам векторов ? и ср соответственно.
Соотношения (4) показывают, что матрица производных решения ф(С и)
уравнения (1) по компонентам его начального значения ? представляет собой
матрицу фундаментальных решений однородного уравнения и = а^(гр>, t)u. Но
определитель матрицы фундаментальных решений линейного дифференциального
уравнения существенно положителен (п. 1.3.2)*). Это и доказывает, что
формула z - q(t, ?) определяет взаимно однозначную зависимость между
векторами z и ?. Отсюда следует, что уравнение г=(р (i, t) имеет
однозначное решение относительно ?, ? -ф-1 (t, z).
Таким образом, значение случайного процесса Z, определяемого уравнением
(1), в любой момент времени t связано с его начальным значением Z0
взаимно однозначной зависимостью
Z = cp (t,Z0), Z0 = <p-1((,Z).
Согласно известной формуле теории вероятностей (ТВ, п. 5.3.1) одномерная
плотность процесса Z (/) в любой момент времени t выражается через
плотность его начального значения Z0 формулой
h (z5 0 = /о (Ф-1 (С *)) | Фг1 (С Z) I, (5)
ГДе |4T1(Cz)| - якобиан компонент вектора <p~l(t,z) по компонентам
вектора г, который выражается через определитель матрицы фундаментальных
решений уравнения (4) известной формулой
I ФгЧС г)|=1/|фе(С Ф_1(С Z)|. <
6.1.4. Определение многомерных плотностей.
> Чтобы найти я-мерное распределение процесса Z (t), необходимо найти
совместное распределение случайных величин
Zi = ф (ti, Z0), Z2 = ф (t2, Z0), . .., Zn = ф \tn, Z0).
Но на основании предыдущих рассуждений величины Zx и Z0 связаны взаимно
однозначной зависимостью, и, следовательно, Z0 - ф_ 1 (/j, Z^. Подставив
это выражение в формулы для
*) Мы считаем, что интегральная кривая г = ф(Д ?) не проходит через
особые точки уравнений (1) ни при каком ?.
344
ГЛ. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Z2, . . ., Z", будем иметь
Z2=-<f (t,, zi)). 2" = ф (/", Ф-1 (^i, Z,)).
Отсюда следует, что /?-мерная плотность процесса Z (/) выражается через
его одномерную плотность формулой (ТВ, п. 5.3.2)
/ Л (2 1 > *'•> Ф т ^ п )
= /i(Zi; f,)8(z2 - (f(L, ф-M/i, 2t))) ... б(г" -ф(/п, '.-'г . Подставив
сюда выражение (5) одномерной плотности, получим
in (п" • • ¦ > * * ¦ *
= Мф_1(^. 20) I Ч-г1^!. г1)|б(г2 - ср (/,,, ф-1(/ 1, zj)}. . .
• • • 6 (г,г - Ф Ф_1(А, 2j))) (л = 2, 3, . . .). <" (6)
Пример 1. Найти конечномерные распределения случайного процесса Z {>),
определяемого уравнением
со случайным начальным условием Z(0) =Z0, если плотность величины Z0 есть
/о (г).
Интегрируя предыдущее уравнение и учитывая начальное условие, находим
