Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(/*А)(г; 0= S f(z-Z)ha-, t)dl.
Написать аналогичное уравнение для /" (zb ..., z"; tu ..., tn). Получить
из (Г) соответствующее уравнение для случая, когда W (f) представляет
собой произведение постоянной /г на простой пуассоновский процесс.
5.33. Показать, что в случае, когда функция х определяется формулой (54),
уравнение (48) приводится к виду
д}1(г; г)
<?т
at
dz
[a(z, t)fx(z\ Л] +
-yir t)xa(t)b(z, ty fi (z; /)]j +
Л' Г ^
+ 2 Vk^') ^ Фа(г - ?; S, 0M?; t)di-f1(z\ t)
k= l
где <pk(y, z, t) - плотность, соответствующая характеристической функции
gk (clb(z, t)TX), т. e. плотность случайного вектора, представляющего
собой произведение матрицы b (z, t) на случайный вектор Y^ - скачок
общего пуассоновского процесса Р^ (/).
5.34. Показать, что в случае, когда
Х(М4 0=-ЦТг'оЦ/2+ J [el>x c(x)-l -inTc(x)]vP(t, х) dx
R1
ЗАДАЧИ
339
(п. 5.3.5) уравнение (48) приводится к виду
*1*4-Ци*. "1+
dt
itT\ii[b{z' *)v° (*>*(*. ty fi (z; oi}-
+ j |/i (z - b(z, t)c(x); t) /i (z; ф + ^[5(г, t)c{x)f1(z; ф]|\>(ф *)
про-
R'l
5.35. Показать, что конечномерные распределения случайного цесса Z (/),
определяемого дифференциальным уравнением
Z=-ati-raZ-\-bX (/),
где X (/) - случайная функция, представляющая собой решение
стохастического дифференциального уравнения
X = а0фаХ -ф pV'
при независимых начальных значениях Z0 и Х0, определяются формулой
/ П \ / П \
&п (^1. •••> кп\ tl, ..., Ф;)"^(М 2 "и t0)r к , go \ 2 uiz(tk, t0)Tk)x
\/с= 1
чЛ=1
Хехр ¦! -( 2 Ук { *= I
К *Г
^ "и (фг, т) а0 (т) dx+ ^ "J2 (^а, т) Обо (т) di
+
/ Л \ )
2 \ "/-( Р-(т)Т 2 "12 (^. т)т^; 1 1*> . (I)
'А-1
/=А
где go (р), go (о) - характеристические функции начальных значений Z,,,
Х0 процессов Zit), X (/), uu (ф т) - фундаментальная матрица решений
уравнения duu/dt = аиц, "ц (Ф т) - /", "12 (Ф т) - решение уравнения
du.nldt = аи12 + 6"22 при нулевом начальном условии, ц12 (т, т)=0, "22 (Ф
т)- фундаментальная матрица решений уравнения du,i2jdt - а"22, "22 (т, т)
= /5 (/9 - единичная матрица порядка 9). Вывести из (/) при Z0 = 0
формулы (2,64) и (2.70) для случая скалярного аргумента Ф Указание.
Воспользоваться формулами, выражающими моменты через характеристическую
функцию (7Уф п. 4.5.2), формулой (1.24) для решения линейного
дифференциального уравнения, формулами (23) и (24) для математического
ожидания и ковариационной функции процесса, определяемого стохастическим
дифференциальным уравнением, и формулой (37) для функции у.
5.36. Показать, что для любых векторов q, р и любых векторных функций Q
(q, р), P(q, р) той же размерности, что и векторы q и о соот-ветственно,
при условии существования функции N (q) одного только вектора q,
удовлетворяющей уравнению в частных производных
- [ N (q) Q (q, р)] + N (q) ~ Р (q, р)= О,
одномерное распределение стационарного процесса в системе <? = Q (<7. Р).
Р =
дН
Р(Р> Р)~ 2е(Я) a (q) - -) b(q)V,
(I)
340 гл. К ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
где b(q)- произвольная прямоугольная матрица, a (q)- произвольная
квадратная матрица, удовлетворяющая условию a (q) - [-a (q)T = 2b (q) Ь
(q)T t H- H(q, р) - первый интеграл уравнений (I) при a (q) = b (q) = 0,
2г(Н) - коэффициент вязкого трения, V - V (() - нормально распределенный
векторный белый шум с независимыми компонентами одной 'и той же
интенсивности V, определяется формулой
Н
h (?" p)=-cN (q) (И)> ЯЧН)^ г (ц) dr\, P= 4/v. (Ц)
и
В частном случае одинаковой размерности векторов q и р при Q (q, р)~ = дН
(q, р)/др, Р (q, р) --дН (q, p)/dq, N (q) ss 1 и из формулы (II) следует
последняя формула задачи 5.26. При в - const формула (II) принимает вид
|9К)
h (q, р) =¦ с.V (q)e~aH {<h р\ а = 4e/v.
ГЛАВА 6
НЕЛИНЕЙНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
§6.1. Системы без шумов со случайными начальными условиями
6.1.1. Непосредственное определение конечномерных характеристических
функций. В случае отсутствия шумов в системе коэффициент b(Z, t) в
уравнении (5.32) равен нулю и уравнение (5.32) представляет собой
обыкновенное дифференциальное уравнение
Z = a(Z, t) (1)
со случайным начальным условием Z (t0) = Z0. Решение уравнения (1)
представляет собой однозначную функцию времени i и начального значения Z0
переменной Z, Z(t) = q(t, Z") (если, конечно, никакое возможное значение
случайной величины Z0 не является особой точкой уравнения (17), что
обычно и бывает в задачах практики). Поэтому все конечномерные
распределения процесса Z(i) можно найти обычными методами определения
распределений функций случайных величин (ТВ, гл. 5). В данном случае
целесообразно применить метод характеристических функций (ТВ, п. 5.3.4).
> Пусть f0(z) - плотность начального значения Z" процесса Z(t). Тогда
одномерная характеристическая функция процесса Z (г) в любой момент
времени t определится формулой
gy (/.; t) = w = МеаТ* <л *">,
или
СО
gy(/.; /)= 5 е"т"хь UfA'Qdl. (2)
- 00
Точно так же "-мерная характеристическая функция процесса Z(f) выразится
формулой
' • • * ^ I* • • ¦ > ^п)~
