Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация - Пугачев В.П.
Скачать (прямая ссылка):
5.23. Проверить, что для нелинейной системы второго порядка
Z + 2sZ + (pz(Z) = V (е > 0),
где V - стационарный нормально распределенный белый шум интенсивности v,
ф'(г) - нелинейная функция, одномерная плотность и характеристическая
функция стационарного в узком смысле процесса определяются формулами
Д(г/ z) = с ехр {- /г2 [ф (z) -j- z2/2]} (ft2 = 2e/v),
gl(y, y') = i^cr^r \ e^-^Wdz,
- CC
где с - нормирующая постоянная. Рассмотреть частные случаи: а) ф' (г) = =
aiz-fa3z3; б) ф' (z) = a sgn z; в) 9'(z) = asinz.
5.24. Показать, что одномерная плотность стационарного в узком смысле
процесса в нелинейной системе
Z = \|i(Z)- 2saZ~r5V\ е > 0, где Z= [Z4 . . . Z"]r, ф (z) = [фх (z) .
.. ф" (z)]T, Эф* (z)jdzk = 0 (fc=l, ..., я).
tl
гтф(г)= ^ zfrtfk (z) = 0, 1/ = [Vl ... Vm]T - нормально распределенный
ста-k= l
ционарный белый шум с независимыми компонентами одной и той же
интенсивности v, Ь - постоянная яхт-матрица, а - постоянная яхя-матрица,
удовлетворяющая условию а-\- ат = 2ЬЬТ, определяется формулой
fi (z) - Va''/л" е~аг z , а = 4e/v.
Для случая единичных матриц а и Ь эта формула получена в [84].
5.25. Показать, что одномерная плотность стационарного в узком
смысле
процесса в системе
Z = аф' (Z) -]- bV,
где ф (z) - нелинейная функция, Ь - постоянная прямоугольная (в общем
случае) матрица, а - постоянная матрица, удовлетворяющая условию а+Ц1"-=-
2ЬЬТ, а V - стационарный нормально распределенный белый шум с
независимыми компонентами одной и той же интенсивности v, определяется
формулой
Л
Д (z) = ce2(H"'v, c~1==j е2ф<z)lvdz
~ Q0
(само собой разумеется, функция ехр {2ф (z)/v) должна быть
интегрируемой).
Указание. Написать уравнение (38) при dgi/dt = 0 и применить
интегрирование по частям к одному из двух интегралов так же, как в при-
ЗАДАЧИ
337
мере 16. В результате получим уравнение
М Iо.
- оо - оо
Первый интеграл обратится в нуль, если принять Д (а) = с ехр {2ц (z)/v}.
Интегрирование по частям показывает, что при этом и второе слагаемое
будет равно нулю в силу равенства '/А ак - '/АаА'к.
5.26. Показать, что формула (VIII) примера 16 при любой зависимости
функции Н (q. р) от q и р определяет одномерное распределение
стационарного в узком смысле процесса в системе
' дН ¦ дН о , ^ дН кг м'
Я ~др ' Р =
где в дополнение к обозначениям примера 16 b(q) - произвольная прямо*
угольная матрица, a a (q)- произвольная матрица, удовлетворяющая условию
a (q)-\-а (р)т = 2b (q) b (q)г.
Показать, что в случае зависящего от энергии коэффициента тоения е, г -
г(Н), вместо (VIII) получается более общая формула
Н
fi (<h p) = ce-№llI\ Р = 4/v, 1|-(Я).щдд
о
Для случая единичных матриц а и Ь и Н ~ Aprр/2 + II (q) при постоянной
скалярной величине А эта формула была получена в [89].
В качестве частного случая рассмотреть уравнение Ван-дер-Поля с нормально
распределенным стационарным белым шумом
q-'rb(q2-\)q-\-">*q=)' q-- I V,
где Ь и w--постоянные.
5.27. Показать, что одномерное распределение стационарного в узком смысле
процесса Z(i)-[Zx[i) Z2(/)]T в нелинейной стохастической системе
Z, =- a sgn (Z2 - pZj), Z-2 - Zx ф V,
где К--стационарный нормально распределенный белый шум интенсивности V,
определяется формулой Фуллера [79]:
к (гь г2) = сехр {- Р (zf-f 2а | 2о - |)/v},
где с - нормирующая константа. Найти соответствующую характеристическую
функцию.
5.28. Показать, что в условиях задачи 5.2 при известной функции X (,u; t)
одномерная характеристическая функция процесса Z (/) = [Zx (/) Z2 (/)Jг
определяется формулой
| ¦ I
gi Л"; t)=g0 i'K'' ехР -1 ia0t (л"-фл7/2Н- \ ;<((/ - т) V + Я"; т) dr }.
I о |
5.29. Показать, что в условиях задачи 5.3 для стационарного белого шума с
любой функцией / (и) одномерное стационарное распределение процесса Z2(t)
определяется характеристической функцией
i я I
1 1 Г 7 (В) j I giW = exp \
о }
Рассмотреть случай Х(в) = - (i2v/2.
338 Г-'l- j- ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
5.30. В условиях задачи 5.8 написать формулу для одномерной
характеристической функции стационарного в узком ^ смысле процесса Zj (/)
при произвольной функции X (В)- Рассмотреть также случай х(М') =-¦
|ATv|i/2.
5.31. Трехмерное брауново движение частицы под действием случайной
возмущающей силы, представляющей собой стационарный белый шум,
описывается векторным уравнением Ланжевена
Z-f 2eZ = V,
где Z- вектор состояния частицы, V - стационарный белый шум с известной
функцией у (и). Показать, что одномерная характеристическая функция
вектора скорости U =Z часгицы в стационарном режиме определяется формулой
gi (V') = exp { \ х (e-2etZ") dx [ (?/' = [кУКуК^]).
vo ;
5.32. Пользуясь формулой (53), показать, что в случае общего пуассо-
новского процесса W (t) и единичной матрицы Ь(г, t) уравнение (48)
приводится к виду
=~ % [Д (г, t)h(z- *)] + *(<) l(Mi)(z; <) -Ы*: /)], (I)
где (/ с/п--композиция плотности f (г) величины скачка пуассоновского
процесса и плотности f\ (г; t) (ТВ, пример 5.30):
